Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A k + 1 , B k + 1 , C k + 1 , D k + 1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh A k B k , B k C k , C k D k , D k A k (với k = 1 , 2 , ... ). Chu vi của hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 bằng
A. 2 2 1007
B. 2 2 1006
C. 2 2 2017
D. 2 2 2018
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A k + 1 , B k + 1 , C k + 1 , D k + 1 thứ tự là trung điểm các cạnh A k B k , B k C k , C k D k , D k A k (với k = 1,2 ....). Chu vi của hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 là:
A. 2 2 1007
B. 2 2 1006
C. 2 2 2018
D. 2 2 2017
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A K + 1 B K + 1 C K + 1 D K + 1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh A K B K , B K C K , C K D K , D A A K (với K=1,2,...). Chu vi của hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 bằng
A. 2 2 1007
B. 2 2 1006
C. 2 2 2017
D. 2 2 2018
Đáp án A.
Từ giả thiết, ta có: A 2 B 2 = A 1 B 1 . 2 2 ; A 3 B 3 = A 2 B 2 . 2 = A 1 B 1 . 2 2 2 ;
A 4 B 4 = A 3 B 3 . 2 2 = A 1 B 1 . 2 2 3
Suy ra A k B k = A 1 B 1 . 2 2 k - 1 . Khi đó chu vi hình vuông A k B k C k D k được tính theo công thức P k = 4 A k B k = 4 A 1 B 1 . 2 2 k - 1 .
Vậy chu vi hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 là:
P 2018 = 4 A 1 B 1 . 2 2 2017 = 2 2 . 2 . 2 2018 2 2017 = 2 2 2017
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi A k + 1 , B k + 1 , C k + 1 , D k + 1 thứ tự là trung điểm các cạnh A k B k , B k C k , C k D k , D k A k ( k = 1 , 2 , . . . ) . Chu vi hình vuông A 2018 B 2018 C 2018 D 2018 bằng
A. 2 2 2019
B. 2 2 1006
C. 2 2 2018
D. 2 2 1007
Cho hình vuông ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Nối CI, AK. CMR: a) Tứ giác AICK là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm của BC. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của DM với IC và AK. CMR: DM = AK và DM vuông AK
a: Xét tứ giác AICK có
AI//CK
AI=CK
Do đó: AICK là hình bình hành
Bài 1 :Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BH,CK. Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C xuống đường thẳng HK. Chứng minh DK=EH
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Qua trung điểm M của cạnh AC, kẻ MN vuông góc với BC tại N. Gọi K là trung điểm AH. Chứng minh BK vuông góc với AN
Bài 1:
a: Ta có: ΔBKC vuông tại K
mà KM là đường trung tuyến
nên KM=BC/2(1)
Ta có: ΔBHC vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến
nên HM=BC/2(2)
Từ (1)và (2) suy ra MH=MK
hay ΔMHK cân tại M
b: Kẻ MN vuông góc với HK
=>N là trung điểm của HK
Xét hình thang CBDE có
M là trung điểm của BC
MN//DB//EC
DO đó: N là trung điểm của DE
=>DK=HE
Cho hình lập phương ABCD. A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B B 1 , CD. A 1 D 1 . Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C 1 N.
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B 1 là gốc tọa độ, B 1 A 1 → = i → , B 1 C 1 → = j → , B 1 B → = k → . Trong hệ trục vừa chọn, ta có B 1 (0; 0; 0), B(0; 0; 1), A 1 (1; 0; 0), D 1 (1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C 1 (0; 1; 0).
Suy ra M(0; 0; 1/2), P(1; 1/2; 0), N(1/2; 1; 1)
Ta có MP → = (1; 1/2; −1/2); C 1 N → = (1/2; 0; 1)
Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa C 1 N và song song với MP. ( α ) có vecto pháp tuyến là n → = (1/2; −5/4; −14) hay n ' → = (2; −5; −1)
Phương trình của ( α ) là 2x – 5(y – 1) – z = 0 hay 2x – 5y – z + 5 = 0
Ta có:
d(MP,
C
1
N) = d(M,(
α
)) 
Ta có:
Vậy ∠ (MP, C 1 N) = 90 ° .
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AK
1 . CM : AC2 = CK . BC
2 . Gọi P , Q theo thứ tự là trung điểm của AK , BK . CM :
a , ABK đồng dạng CAQ
b, AP vuông góc CQ
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Người ta dựng hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1/2 đường chéo của hình vuông ABCD, dựng hình vuông A2B2C2D2 có cạnh bằng 1/2 đường chéo của hình vuông A1B1C1D1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích của tất cả hình vuông ABCD,A1B1C1D1,A2B2C2D2,... bằng 8 thì a bằng bao nhiêu?
Xét dãy số \(u_n=S_{A_nB_nC_nD_n}\). Ta có \(u_1=a^2\)
Ta xét hình vuông có cạnh \(x\) (diện tích là \(x^2\)). Khi đó nửa độ dài đường chéo của hình vuông này sẽ là \(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\). Khi đó diện tích của hình vuông mới là \(\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{x^2}{2}\) bằng 1 nửa diện tích hình vuông ban đầu. Như vậy, ta có mối quan hệ truy hồi: \(u_{n+1}=2u_n\). Dễ thấy đây là một cấp số nhân.
Ta có \(\left(u_n\right):\left\{{}\begin{matrix}u_1=a^2\\u_{n+1}=2u_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S_n=\sum\limits^{\infty}_{i=1}u_i=a^2\left(\sum\limits^{\infty}_{i=0}\dfrac{1}{2^i}\right)=2a^2\)
(Đẳng thức quen thuộc \(\sum\limits^{\infty}_{i=0}\dfrac{1}{2^i}=2\))
Cho \(S_n=8\) \(\Rightarrow2a^2=8\Leftrightarrow a=2\).
Vậy \(a=2\) thỏa mãn ycbt.
