1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)  \(\left(a;b;c\in R\right)\)

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)

Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)

\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)  

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)

- Với \(x>1;y>1\)

\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương

\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương

\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)

Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

\(x^2+2x-3=0\) có nghiệm \(x=1\) nên giới hạn đã cho hữu hạn khi \(2x^2+ax+b=0\) cũng có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow2.1^2+a.1+b=0\Rightarrow a+b+2=0\Rightarrow b=-a-2\)

Thay vào:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2x^2+ax-a-2}{x^2+2x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(2x+2\right)+a\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(2x+2+a\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2x+2+a}{x+3}=\dfrac{4+a}{4}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow4+a=3\Rightarrow a=-1\Rightarrow b=-a-2=-1\)

Ta có : \(lim\dfrac{an^3+bn^2+2n+4}{n^2+1}=lim\dfrac{an+b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1\)  \(\Rightarrow a=0\)

Với a = 0 ; \(lim\dfrac{b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1\Rightarrow b=1\)  Vậy ... 

Nếu \(a\ne0\Rightarrow\lim\dfrac{an^3+bn^2+2n+4}{n^2+1}=\lim\dfrac{an+b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=\infty\) ko thỏa mãn

\(\Rightarrow a=0\)

Khi đó: \(\lim\dfrac{bn^2+2n+4}{n^2+1}=\lim\dfrac{b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=b\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow2a+b=1\)

Ta có: \(x+a+b+c=7\Rightarrow a+b+c=7-x\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\left(7-x\right)^2\). Lại có BĐT 

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (theo C-S hay Am-Gm đều dc...)

\(\Rightarrow\left(7-x\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2-14x+49\le3\left(13-x^2\right)\left(a^2+b^2+c^2=13-x^2\right)\)

\(\Rightarrow4x^2-14x+10\le0\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2,5\right)\le0\)

\(\Rightarrow x_{min}\ge1;x_{max}\le2,5\)

http://imgur.com/a/QxeeS
Đã full tại đây (:
 

a-b+b-x-a+c/x+y-z=0/x+y-z=0

suy ra a-b=0 suy ra a=b

b-c=0 suy ra b=c

cảm ơn bn nha

Câu 1: xy + x - y = 4

<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3

<=> x(y+1) - (y + 1) = 3 <=> (y + 1) (x - 1) = 3

Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y =>

Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.

Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)

* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)

Vậy x = y = 2.

Câu 2: Ta có:  (a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z

=(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0 Vì x; y

; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c