Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Trên tia OB lấy C sao cho OB=OC.Chứng minh rằng BMC=1/2 BMA
Những câu hỏi liên quan
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn . Trên tia OB lấy điểm C sao cho BC=BO .CM góc BMC =1/2 góc BMA
Cho đường tròn (O;R) lấy điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA= 2R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B,C là các tiếp điểm).
a) Tính số đo dóc AOB
b) Từ A kẻ đường thẳng vuông gốc với AC cắt tia OB tại M. C/m MA= MOc) Lấy I là trong điểm của OA. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Xem chi tiết
a) Xét \(\Delta\)AOB vuông tại B có
\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}\)(Tỉ số lượng giác góc nhọn)
\(\Leftrightarrow\cos\widehat{AOB}=\dfrac{R}{2\cdot R}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(\widehat{AOB}=60^0\)
Vậy: \(\widehat{AOB}=60^0\)
b) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)
nên \(\widehat{AOB}+\widehat{BAO}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{BAO}=30^0\)
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)
hay \(\widehat{CAO}=30^0\)
Ta có: \(\widehat{CAO}+\widehat{MAO}=\widehat{MAC}\)(Vì tia AO nằm giữa hai tia AM,AC)
hay \(\widehat{MAO}=60^0\)
Xét ΔMOA có
\(\widehat{MAO}=60^0\)(cmt)
\(\widehat{MOA}=60^0\)(\(\widehat{AOB}=60^0\))
Do đó: ΔMOA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒MA=MO(đpcm)
c) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)
mà BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)
nên \(BI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AI=\dfrac{OA}{2}\)(I là trung điểm của OA)
nên BI=AI(1)
Ta có: ΔOCA vuông tại C(OC⊥CA)
mà CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)
nên \(CI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AI=\dfrac{AO}{2}\)(I là trung điểm của OA)
nên CI=AI(2)
Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC
hay I là giao điểm 3 đường trung trực của ΔABC
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BAO}+\widehat{CAO}\)(tia AO nằm giữa hai tia AB,AC)
hay \(\widehat{BAC}=60^0\)
Xét ΔABC có AB=AC(cmt)
nên ΔABC cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(cmt)
nên ΔABC đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Xét ΔABC đều có I là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác(cmt)
mà trong tam giác đều, giao điểm 3 đường trung trực cũng chính là giao điểm của 3 đường phân giác(Định lí tam giác đều)
nên I là giao điểm của 3 đường phân giác trong ΔBAC
hay I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O)(A,B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D. a)Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp b)Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh: MC.MDMA^2. Từ đó suy ra MC.MDMH.MO c)Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O)
Đọc tiếp
Cho (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O)(A,B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D. a)Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp b)Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh: MC.MD=MA^2. Từ đó suy ra MC.MD=MH.MO c)Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O)
a) Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Xét (O) có
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)
\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi dây cung CA và tiếp tuyến AM
Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{CAM}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔMDA và ΔMAC có
\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)
\(\widehat{AMD}\) là góc chung
Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)
⇔\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MA}{MC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇔\(MA^2=MC\cdot MD\)(đpcm)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:
\(MA^2=MH\cdot MO\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)(đpcm)
Đúng 3
Bình luận (0)
c) để chứng minh EC là tiếp tuyến:
chứng minh tứ giác OECH nội tiếp thì ta sẽ có góc OHE=OCE=90o(đpcm)
=> cần chứng minh tứ giác OECH nội tiếp:
ta có: DOC=DHC (ccc CD)
xét MHC=MDO (tam giác MCH~MOD)= OCD (vì DO=OC)=OHD (cùng chắn OD) => HA là phân giác CHD
DOC=DHC => 1/2 DOC= 1/2 DHC =COE=CHE
mà COE với CHE cùng chắn cung CE trong tứ giác OHCE nên tứ giác đấy nội tiếp => xong :))))
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho đường tròn (O:R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho MO=2R. Từ M vẽ tiếp tuyến MA với (O); tia OM cắt đường tròn tại B a) Tính số đo cung AB b) Kẻ tiếp tuyến MC với (O). Chứng minh OM vuông góc với AC c) Gọi H là giao điểm của AC và OB. Chứng minh HA.HC=HB.HM d) Chứng minh OABC là hình thoi
a: Xét ΔOAM vuông tại A có cosAOM=OA/OM=1/2
nên góc AOM=60 độ
=>góc AOB=60 độ
=>sđ cung AB=60 độ
b: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
nên MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc với AC
c: Xét ΔOAB có OA=OB và góc AOB=60 độ
nên ΔOAB đều
mà AH là đườg cao
nên H là trung điểm của OB
=>HO=HB
Vì MO là trung trực của AC
nên MO vuông góc AC tại H và H là trung điểm của AC
HA*HC=HA^2
HO*HM=HA^2
=>HA*HC=HO*HM
=>HA*HC=HB*HM
d: Xét ΔOBC có OB=OC và góc BOC=60 độ
nên ΔBCO đều
=>OB=OC=BC=OA=AB
=>OA=AB=BC=OC
=>OABC là hình thoi
Đúng 3
Bình luận (0)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC của (O;R), (BC là các tiếp điểm).1) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn;2) Lấy điểm I trên đường tròn (O;R) sao cho tia OI nằm giữa hai tia OA và OB. Qua I vẽ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O;R) cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MB+NCMN;3) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PM.QNfrac{PQ^2}{4}
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC của (O;R), (BC là các tiếp điểm).
1) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn;
2) Lấy điểm I trên đường tròn (O;R) sao cho tia OI nằm giữa hai tia OA và OB. Qua I vẽ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O;R) cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MB+NC=MN;
3) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PM.QN=\(\frac{PQ^2}{4}\)
Cho đường tròn (O;R) lấy điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA= 2R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B,C là các tiếp điểm).
a) Tính số đo dóc AOB
b) Từ A kẻ đường thẳng vuông gốc với AC cắt tia OB tại M. C/m MA= MO
c) Lấy I là trong điểm của OA. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 3ON. Đường trung trực của đường thẳng CN cắt OA tại M. CMR: 3OA = 8AM
Cho đường tròn (O:R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho MO=2R. Từ M vẽ tiếp tuyến MA với (O); tia OM cắt đường tròn tại B
a) Tính số đo cung AB
b) Kẻ tiếp tuyến MC với (O). Chứng minh OM vuông góc với AC
c) Gọi H là giao điểm của AC và OB. Chứng minh HA.HC=HB.HM
d) Chứng minh OABC là hình thoi
a: Xét ΔOAM vuông tại A có cosAOM=OA/OM=1/2
nên góc AOM=60 độ
=>góc AOB=60 độ
=>sđ cung AB=60 độ
b: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
nên MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc với AC
c: Xét ΔOAB có OA=OB và góc AOB=60 độ
nên ΔOAB đều
mà AH là đườg cao
nên H là trung điểm của OB
=>HO=HB
Vì MO là trung trực của AC
nên MO vuông góc AC tại H và H là trung điểm của AC
HA*HC=HA^2
HO*HM=HA^2
=>HA*HC=HO*HM
=>HA*HC=HB*HM
d: Xét ΔOBC có OB=OC và góc BOC=60 độ
nên ΔBCO đều
=>OB=OC=BC=OA=AB
=>OA=AB=BC=OC
=>OABC là hình thoi
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn . Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn (O) trong đó A , B là hai tiếp điểm sao cho AMB = 90 độ . Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (o) cắt MA , MB tại P vs Q .
CMR : 1/3 ( MA + MB ) < PQ < 1/2 ( MA + MB)
o l m . v n