a: Xét ΔABC có

F,E lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>FE là đường trung bình của ΔABC

=>FE//AB và \(FE=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: FE//AB

D\(\in\)AB

Do đó: FE//AD và FE//BD

Ta có: \(FE=\dfrac{AB}{2}\)

\(AD=DB=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

Do đó: FE=AD=DB

Xét tứ giác ADEF có

FE//AD

FE=AD

Do đó: ADEF là hình bình hành

Hình bình hành ADEF có \(\widehat{FAD}=90^0\)

nên ADEF là hình chữ nhật

=>AE=DF

Xét tứ giác BEFD có

FE//BD

FE=BD

Do đó: BEFD là hình bình hành

b: Xét ΔABC có

D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DF là đường trung bình của ΔABC

=>DF//BC và DF=BC/2

Ta có: DF//BC

E,H\(\in\)BC

Do đó: DF//EH

Ta có: ΔHAC vuông tại H

mà HF là đường trung tuyến

nên HF=FA

mà FA=ED(ADEF là hình chữ nhật)

nên HF=ED

Xét tứ giác EHDF có EH//DF

nên EHDF là hình thang

Hình thang EHDF có ED=HF

nên EHDF là hình thang cân

c: Xét tứ giác AECI có

F là trung điểm chung của AC và EI

=>AECI là hình bình hành

=>AI//CE

mà E\(\in\)CB

nên AI//CB

Xét tứ giác BIKE có

F là trung điểm chung của BK và IE

=>BIKE là hình bình hành

=>IK//EB

mà E\(\in\)BC

nên IK//BC

Ta có: AI//BC

IK//BC

AI,IK có điểm chung là I

Do đó: A,I,K thẳng hàng

a) Xét ∆ABC có : 

D là trung điểm AB 

E là trung điểm BC 

=> DE là đường trung bình ∆ABC 

=> DE//AC , DE = \(\frac{1}{2}AC\)= \(\frac{16}{2}=8\)cm

Xét ∆ABC có : 

E là trung điểm BC 

F là trung điểm AC 

=> FE là đường trung bình ∆ABC 

=> FE//AB , FE = \(\frac{1}{2}AB=6cM\)

Xét tứ giác AFED có : 

AD//EF ( AB//FE , D\(\in\)AB )

DE//FA ( DE//AC , F \(\in\)AC )

=> AFED là hình bình hành 

Mà BAC = 90° 

=> AFED là hình chữ nhật 

=> DEF= EFA = FAD = ADE = 90° 

Vì F là trung điểm AC 

=> FA = FC = 8cm

Áp dụng định lý Py - ta -go vào ∆AEF ta có : 

AE² = FE² + AF² 

=> AE = 10cm

b) Xét ∆ABC ta có : 

D là trung điểm AB 

F là trung điểm AC 

=> DF là đường trung bình ∆ABC 

=> DF//BC  

Xét tứ giác BEFD ta có : 

BE//DF ( BC//DF , E \(\in\)BC )

BD//FE ( AB//FE , D\(\in\)AB )

=> BEFD là hình bình hành 

c) Chứng minh trên 

a/ M, N là trung điểm của AB, AC ⇒ MN là đường trung bình của △ABC, MN // BC (1)

Vậy: MNCB là hình thang (đpcm)

==========

b/ Do MN là đường trung bình của △ABC

Vậy: \(MN=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow BC=MN.2=3,5.2=7cm\)

==========

c/ Do E là trung điểm của BC \(\Rightarrow CE=\dfrac{BC}{2}\)

- Mà \(MN=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow MN=CE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2). Vậy: MNCE là hình bình hành (đpcm)

cho \(\Delta ABCD\)

a, Trong D là trung điểm của E là trung điểm của ⇒ DE là đường trung bình của ⇒ DE = 1/2AB (1)

và: DE // AB (2)

F là điểm đối xứng với E nên:

⇒ DF = 2DE = 2 . 1/2AB = AB (3) (theo Từ (2),(3) suy ra: ABDF là hình bình hành.

c, Do ABDF là hình bình hành nên:

D là trung điểm của BC

=>  AF = BD (cmt)

=> BC = AF (5).

và: AB // DF

⇒ AC⊥DF.

Vậy, hình bình hành ADCF là hình thoi.

Ta có: ⇒AE = 1/2AC = 4.

góc E = 90^∘ (⇒ AE² + DE² = AD² (Định lý Pythagore)

thay số: 4² + 3² = AD²

16 + 9 = AD²

25 = AD² => AD = 5 cm.

d, Để AD⊥BC.

Mà: AD⊥BC khi và chỉ khi BC hay:

△ABC vuông cân tại A.

Vậy, điều kiện để △ABC vuông cân tại A

a. Xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}CF=BF\\BD=AD\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DF//AC hay DF//EC(1)

Lại có, xét \(\Delta ABC\): \(\left\{{}\begin{matrix}CE=AE\\BD=AD\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\) ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) ED//BC hay ED//CF(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác FDEC là hình bình hành

b. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}FD//AC\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow FD\perp AB\Rightarrow\widehat{FDA}=90^o\)

Tương tự xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}CE=AE\\CF=BF\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) EF//AB

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}EF//AB\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow EF\perp AC\Rightarrow\widehat{FEA}=90^o\)

Xét tứ giác EFDA có: \(\widehat{FEA}=\widehat{EFD}=\widehat{EAD}=90^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFDA là hình chữ nhật \(\Rightarrow\) AF=DE

c. Xét \(\Delta AKC\) vuông tại K có KE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow EK=\dfrac{AC}{2}=CE=EA\)

Mà EA=DF (EDFA là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow EK=DF\)

Xét tứ giác KDEF có: \(\left\{{}\begin{matrix}DK//EF\\DF=EK\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\) Tứ giác KDEF là hình thang cân