cái cuối là \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)  nha

\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(2+2+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}\)

cảm ơn nha

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b +c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(2+2+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}\)

P/s : Mình tự nghĩ chứ không phải mình copy đâu

Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)

Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:

\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)

Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được

Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?

1/ \(4\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2+3b^2⋮3\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮3\)

\(\Rightarrow2a-b⋮3\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮9\)

\(\Rightarrow3b^2⋮9\)

\(\Rightarrow b⋮3\)

\(\Rightarrow a⋮3\)

Câu 2 làm hoi dài nên lười

Câu 2 em nghĩ là dùng dồn biến.Câu 2 nếu làm kỹ sẽ rất dài do đó em làm khá tắt, vì vậy không thể tránh khỏi những sai sót khi quy đồng, chị tự kiểm tra lại:P

Giả sử c = min{a,b,c} suy ra \(1\ge3c^2+2c^3\Leftrightarrow0< c\le\frac{1}{2}\)

Chọn t > 0 thỏa mãn: \(2t^2+2t^2c=a^2+b^2+2abc\Leftrightarrow2t^2-\left(a^2+b^2\right)=2c\left(ab-t^2\right)\)

Giả sử \(ab>t^2\Rightarrow2t^2>a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow t^2>ab\) (trái với giả us73)

Vậy giả sử sai hay \(ab\le t^2\text{ và }a^2+b^2\ge2t^2\ge2ab\)

Đặt \(f\left(a;b;c\right)=ab+bc+ca-abc\)

Xét hiệu \(d=f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)\)

\(=\left(ab-t^2\right)+c\left(a+b-2t\right)-c\left(ab-t^2\right)\)

\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)+\frac{c\left(a^2+b^2-2t^2\right)+2c\left(ab-t^2\right)}{a+b+2t}\)

\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)-c\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{a+b+2t}\)

\(=\frac{\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{2c}+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)-c\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{a+b+2t}\)

\(=\frac{\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{2c}+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)\left(1-c\right)}{a+b+2t}\)

\(=\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)\left[\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b+2t}\right]\le0\)

Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=t^2+2tc-t^2c\). Ta cần tìm max của f(t;t;c). Mặt khác từ cách chọn t ta thấy:

\(2t^2+c^2+2t^2c=1\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{1-c}{2}}\). Do đó 

\(f\left(t;t;c\right)=\frac{1-c}{2}+2\sqrt{\frac{1-c}{2}}.c-\frac{\left(1-c\right)c}{2}\) với \(0< c\le\frac{1}{2}\)

Dễ thấy f(t;t;c) là hàm đồng biến với \(0< c\le\frac{1}{2}\) nên f(t;t;c) đạt max tại c = 1/2. Khi đó \(f\left(t;t;c\right)=\frac{5}{8}\)

Vậy.....

Ta có:

\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-c\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(c+a\right)^2+\frac{3}{4}\left(c-a\right)^2}}\)

\(\le2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\le2.\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)