a, Xét tam giác HBA và tam giác ABC có 

^B _ chung ; ^BHA = ^BAC = 90⁰

Vậy tam giác HBA ~ tam giác ABC (g.g) 

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10cm\)

\(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AH=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}cm\)

\(\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=\dfrac{18}{5}cm\)

b, Xét tam giác CHI và tan giác CAH có 

^AIH = ^CHA = 90⁰

^C _ chung 

Vậy tam giác CHI ~ tam giác CAH (g.g)

\(\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{CI}{CH}\Rightarrow CH^2=CI.AC\)

Lời giải:

a. Tứ giác $ADHE$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên $ADHE$ là hình chữ nhật 

$\Rightarrow AH=DE$

b.

Gọi $T$ là giao $AM, DE$

Do $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}=MC$

$\Rightarrow AMC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{TAE}=\widehat{MAC}=\widehat{C}$

$ADHE$ là hcn nên $\widehat{TEA}=\widehat{DEA}=\widehat{DHA}=90^0-\widehat{BHD}=90^0-\widehat{C}$

Vậy: $\widehat{TAE}+\widehat{TEA}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{ATE}=90^0$

$\Rightarrow AM\perp DE$

Hình vẽ:

a: Xét ΔAHC có 

E là trung điểm của AC

EF//AH

Do đó: F là trung điểm của CH

Xét ΔAHC có 

E là trung điểm của AC

F là trung điểm của CH

Do đó: EF là đường trung bình của ΔAHC

Suy ra: \(EF=\dfrac{AH}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền CB

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

hay \(AH=\sqrt{HB\cdot HC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF=\dfrac{\sqrt{HB\cdot HC}}{2}\)

hay \(EF^2=\dfrac{HB\cdot HC}{4}\)

d) Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)

b) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có 

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)

Do đó:ΔAHB\(\sim\)ΔCHA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=HB\cdot HC\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)

\(\wr\)

@Lê Phước Thịnh cứu em