Trước hết phải chú ý điều kiện xác định của phương trình là  x ≠ 1 .

Ta có:  2 m + 1 x - m x - 1 = x + m

Suy ra: (2m + 1) x- m =  (x+ m). (x- 1)

⇔ 2 m x + x - m = x 2 - x + m x - m ⇔ x 2 - 2 x - m x = 0 ⇔ x 2 - 2 + m x = 0 ⇔ x x - 2 + m = 0 ⇔ [ x = 0 x = 2 + m

 Khi m = 2 thì hai nghiệm bằng nhau đều bằng 0.

Khi m = -1 thì x = 1 ( không thỏa mãn điều kiện) nên không phải là nghiệm.

Vì vậy các phương án A B, C sai. Đáp án là D.

Ta xét từng phương án :

* Phương án D: khi m= 1 thì phương trình đã cho trở thành:  -3x – 1= 0

Phương trình này có nghiệm duy nhất là  x = - 1 3

=> D đúng.

Ta có:   ∆ = - 3 2 - 4 . m - 1 . - 1 = 9 + 4 m - 4 = 4 m + 5

* Khi m >  1 hay m-1 > 0 thì ∆ >0  và  x 1 . x 2 = - 1 m - 1 < 0

Suy ra, phương trình có 2 nghiệm trái dấu nên mệnh đề A đúng.

*  Khi m > 3 thì ∆ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt và

x 1 + x 2 = 3 m - 1 > 0 x 1 . x 2 = - 1 m - 1 < 0  phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu x₁< 0<x₂ và |x₁| < |x₂|

=> Khẳng định B đúng.

* Khẳng định C:  khi m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm âm là sai.

Ví dụ cho m = -2 thì ∆ = -3 ,phương trình khi đó vô nghiệm.

Chọn C.

* Ta có:

2 x - 3 . m x 2 - m + 2 x + 1 - m = 0 ⇔ [ 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 m x 2 - m + 2 x + 1 - m = 0

Do đó, phương  trình đã  cho luôn có nghiệm x = 3 2  với mọi m.

Khẳng định A đúng.

*  Khi m = 0 thì phương trình đã cho trở thành:  (2x -3). ( -2x + 1)= 0

⇔ [ 2 x - 3 = 0 - 2 x + 1 = 0 ⇔ [ x = 3 2 x = 1 2

Khẳng định B đúng.

* Khi m = -8 thì (*) trở thành: (2x – 3). (- 8x²  + 6x + 9) =0

⇔ [ 2 x - 3 = 0 - 8 x 2 + 6 x + 9 = 0 ⇔ [ x = 3 2 x = - 3 4

Khẳng định D đúng.

Chọn  C.

*Xét phương trình  (m² +1).x² – (m- 6)x -  2= 0 có a= m² + 1 >0  và c = -2 < 0 nên ac< 0 mọi m.

=>  Phương trình (1) luôn có nghiệm mọi m.

* Phương trình x 2 + m + 3 x - 1 = 0  có ac= 1. (-1) < 0 nên phương  trình này luôn có nghiệm mọi m.

* Xét (3) mx² - 2x – m = 0  . Khi m= 0 thì (3) trở thành:  - 2x = 0 đây là phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất là x = 0.

* Xét (4) có :

∆ = - 2 m 2 - 4 . 2 - 1 - m = 4 m 2 + 8 + 8 m = 4 m 2 + 8 m + 4 + 4 = 4 m + 1 2 + 4 > 0   ∀ m

 Nên trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Chọn C.

Bài 1: 

a) Thay m=3 vào (1), ta được:

\(x^2-4x+3=0\)

a=1; b=-4; c=3

Vì a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}=3\)

Bài 2: 

a) Thay m=0 vào (2), ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

hay x=1

Ta có  m 2 + 1 x - m - 1 x 2 - 2 m x - 1 + 2 m = 0

⇔ [ m 2 + 1 x - m - 1 = 0   ( a ) x 2 - 2 m x - 1 + 2 m = 0   ( b )

Phương trình (a) có m² + 1 >0 với mọi m nên phương trình này luôn có 1 nghiệm

Phương trình (b) có  ∆ ' = m 2 - 1 . - 1 + 2 m = m 2 - 2 m + 1 = m - 1 2 ≥ 0   ∀ m

Nếu m=1 thì phương trình (b) có nghiệm kép . Suy ra, phương trình (*) không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy A sai .

Phương trình  m x 2 + 2 x + 1 = 0  (*) có ∆ ' = 1 - m . Khi m >1 thì ∆ <0, phương trình vô nghiệm  nên phương án A đúng và phương án C sai, vậy loại A và chọn C.

Xét thêm các trường hợp còn lại:

 * Khi m <1 và  m ≠ 0  thì phương trình (*) là phương trình bậc hai có ∆> 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên phương án B đúng, loại B.

* Khi m = 1 thì phương trình đã cho trở thành: x² + 2x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất là x = -1.

  Khi m= 0 thì phương trình đã cho trở thành 2x + 1= 0 có nghiệm duy nhất  x = 1 2

 nên phương án D đúng, loại D.

Chọn C.

Ta có: 2 x - 1 . x - m x - 1 = 0 ⇔ [ 2 x - 1 = 0         ( a ) x - m x - 1 = 0   ( b )  và tập nghiệm của (*) là hợp hai tập nghiệm của (a) và của (b).

Phương trình (a) luôn có nghiệm duy nhất là 1 2 , vậy phương án B đúng và phương án A sai.

Xét thêm các khẳng định còn lại.

  * Khi m = -1 thì (b ) trở thành:  x + x  - 1= 0   ⇔ 2 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 2

Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 2 .

*Khi m = 1 thì phương trình (b) trở thành:  x – x – 1= 0 hay 0x- 1 = 0 vô lí nên phương trình (b) vô nghiệm.

Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 2 - là nghiệm của phương trình (a).

 Vậy phương án C và D đều đúng, tức là loại C và D.

Chọn A.

a: Khi m=1 thì (1) sẽ là:

x^2-4x-5=0

=>x=5 hoặc x=-1