Ta có:

\(\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2-\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)^2.\)

\(=x^4+2.x^2.y^2+y^4-4x^2y^2-\left[\left(x+y\right)\left(x-y\right)\right]^2\)

\(=x^4+2.x^2.y^2+y^4-4x^2y^2-\left[x^2-y^2\right]^2\)

\(=x^4+2x^2y^2+y^4-4x^2y^2-\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)\)

\(=x^4+2x^2y^2+y^4-4x^2y^2-x^4+2x^2y^2-y^4\)

\(=0\)

Vậy \(\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2=\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)^2.\)

\(a,\left(x+y\right)^2-y^2=\left(x+y-y\right)\left(x+y+y\right)=x\left(x+2y\right)\)

\(b,\left(x^2+y^2\right)-4x^2y^2=\left(x^2+y^2-2xy\right)\left(x^2+y^2+2xy\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\)

Đề thi thử + tính điểm với những đề mới nhất cả nhà tải app dùng thử nhé https://giaingay.com.vn/downapp.html

Ứng dụng giải toán đã được review rất hay bởi trang báo uy tín https://www.facebook.com/docbaoonlinethayban/videos/467035000526358/?v=467035000526358 Cả nhà tải ngay bằng link dưới đây nhé. https://giaingay.com.vn/downapp.html

Sửa đề: (x+y)(x+y+2)-2(x+1)(y+1)+2-x^2-y^2

=(x+y)^2+2(x+y)-x^2-y^2-2(xy+x+y+1)+2

=2xy+2(x+y)-2xy-2x-2y-2+2

=2(x+y)-2(x+y)-2+2

=0

=>Đẳng thức được chứng minh

Bài 1 : 

a, \(A=x^2-4x+6=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 2 

Vậy GTNN A là 2 khi x = 2 

b, \(B=y^2-y+1=y^2-2.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Dấu ''='' xảy ra khi y = 1/2 

Vậy GTNN B là 3/4 khi y = 1/2 

c, \(C=x^2-4x+y^2-y+5=x^2-4x+4+y^2-y+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=2;y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN C là 3/4 khi x = 2 ; y = 1/2 

Bài 3 : 

a, \(x^2-6x+10=x^2-2.3.x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\)( đpcm )

b, \(-y^2+4y-5=-\left(y^2-4y+5\right)=-\left(y^2-4y+4+1\right)=-\left(y-2\right)^2-1< 0\)( đpcm )

Bài 4 : 

\(B=\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y\right)^2-2xy\)

Thay (*) ta được : \(225-2\left(-100\right)=225+200=425\)

Bài 5 : 

\(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=\left(x+y-x+y\right)\left(x+y+x-y\right)\)

\(=2y.2x=4xy=VP\)( đpcm ) 

Trả lời:

Bài 1: 

a, \(A=x^2-4x+6=x^2-2.x.2+4+2=\left(x-2\right)^2+2\)\(\ge2\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2

Vậy GTNN của A = 2 khi x = 2

b, \(B=y^2-y+1=\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)\(\ge\frac{3}{4}\forall y\)

Dấu "=" xảy ra khi \(y-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của B = 3/4 khi x = 1/2

c, \(C=x^2-4x+y^2-y+5=\left(x^2-4x\right)+\left(y^2-y\right)+4+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-2\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)\(\ge\frac{3}{4}\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2 và y - 1/2 = 0 <=> y = 1/2

Vậy GTNN của C = 3/4 khi x = 2; y = 1/2

Bài 2: 

a, \(A=-x^2+4x+2=-\left(x^2-4x-2\right)=-\left(x^2-2.x.2+4-6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2-6\right]\)

\(=-\left(x-2\right)^2+6\le6\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2

Vậy GTLN của A = 6 khi x = 2

b, \(B=x-x^2+2=-\left(x^2-x-2\right)=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\right]\)

\(=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\le-\frac{9}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi x - 1/2 = 0 <=> x = 1/2

Vậy GTLN của B = - 9/4 khi x = 1/2

1, \(\left(xy+z\right)^2-x^2y^2=z\left(2xy+z\right)\)

Biến đổi VT :\(\left(xy+z\right)^2-x^2y^2\)

\(=x^2y^2+2xyz+z^2-x^2y^2\)

\(=2xyz+z^2\)

\(=z\left(2xy+z\right)\) = VP

Vậy \(\left(xy+z\right)^2-x^2y^2=z\left(2xy+z\right)\)

2, \(\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2=\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)^2\)

Biến đổi VT: \(\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2\)

\(=x^4+2x^2y^2+y^4-4x^2y^2\)

\(=x^4-2x^2y^2+y^4\)

Biến đổi VP: \(\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)^2\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=x^4-2x^3y+x^2y^2+2x^3y-4x^2y^2+2xy^3+x^2y^2-2xy^3+y^4\)\(=x^4-2x^2y^2+y^4\)

Ta có VT = VP

Vậy \(\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2=\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)^2\)

1 ) \(VT=\left(xy+z\right)^2-x^2y^2\)

\(=x^2y^2+2xyz+z^2-x^2y^2\)

\(=2xyz+z^2\)

\(=z\left(2xy+z\right)=VP\left(đpcm\right)\)

2 ) \(VT=\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2\)

\(=x^4+2x^2y^2+y^4-4x^2y^2\)

\(=x^4+y^4-2x^2y^2\)

\(=\left(x^2-y^2\right)^2\)

\(=\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2\)

\(=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=VP\left(đpcm\right)\)

Theo đề ra :\(x^2+y^2=2\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy=2+2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2+2xy.\)(1)

Khi đó \(\left(x+y\right)\left(x+y+2\right)=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\)

                                                      \(=2+2xy+2\left(x+y\right)\)( Thế (1) vô)

                                                     \(=2\left(x+y+xy+1\right)\)

                                                     \(=2\left[y\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\right]\)

                                                    \(=2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^3+4y\left(2x^2+y^2\right)\)

\(=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+8x^2y+4y^3\)

\(=x^3+5x^2y+3xy^2+3y^3\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+2x^2y+2y^3\)

\(=\left(x+y\right)^3+2y\left(x^2+y^2\right)\)