a: Xét ΔAME và ΔADC có

\(\widehat{AME}=\widehat{ADC}\)(hai góc đồng vị, ME//DC)

\(\widehat{MAE}\) chung

Do đó: ΔAME đồng dạng với ΔADC

=>\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{ME}{DC}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

Xét ΔCEN và ΔACD có

\(\widehat{CEN}=\widehat{ACD}\)(hai góc so le trong, EN//CD)

\(\widehat{ECN}=\widehat{CAD}\)(hai góc so le trong, CN//AD)

Do đó: ΔCEN đồng dạng với ΔACD

=>\(\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{EN}{CD}=\dfrac{CN}{AD}=\dfrac{2}{3}\)

b: E là trung điểm của MN

=>EM=EN

Xét ΔEAM và ΔECN có

\(\widehat{EAM}=\widehat{ECN}\)(hai góc so le trong, AM//CN)

\(\widehat{AEM}=\widehat{CEN}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEAM đồng dạng với ΔECN

=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{EM}{EN}=1\)

=>E là trung điểm của AC

a, sửa tìm các tam giác đồng dạng nhé 

Xét tam giác AME và tam giác ADC ta có : ME // DC 

\(\frac{AM}{MD}=\frac{AE}{CE}\)( theo định lí Ta lét ) 

^A chung

Vậy tam giác AME ~ tam giác ADC ( c.c.c )

\(\Rightarrow\frac{ME}{DC}=\frac{AE}{AC}\)( tỉ số đồng dạng ) 

b, Xét tam giác ADC ta có : ME // DC 

\(\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{ME}{DC}\)( theo hệ quả Ta lét )

Xét tam giác ACB ta có : EN // AB 

\(\Rightarrow\frac{CE}{AC}=\frac{CN}{BC}=\frac{EN}{AB}\)( theo hệ quả Ta lét )

giả sử : E là trung điểm MN khi  \(\frac{ME}{DC}=\frac{NE}{AB}\)

mà \(DC=AB\)( do ABCD là hình bình hành )

Suy ra : \(ME=NE\)hay E là trung điểm MN 

Bài 6 :

Tự vẽ hình nhá :)

a) Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tam giác ADC có :

EO // DC => AE/AD = AO/AC (1)

Xét tam giác ABC có :

OF // DC

=> CF/CB = CO/CA (2)

Từ (1) và (2) => AE/AD + CF/CB = AO/AC + CO/CA = AO + CO/AC = AC/AC = 1 => đpcm

Bài 7 :

a) Do EF // AB => CF / CA = EF / AB => CF / EF = AC / AB (1)

Dựng MG // AC và M là trung điểm của cạnh BC => GM là đường trung bình của tam giác ABC => G là trung điểm của cạnh AB =>AG = BG

Do DK // GM => AD / AG = DK / GM => AD / BG = DK / GM 

=> DK / AD = GM / BG = \(\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{AC}{AB} \left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => CF / EF = DK / AD

Mà tứ giác ADEF là hình bình hành ( vì EF // AD và DE // AF ) nên AD = È

=> CF = DK ( đpcm )

Bài 8 : 

Ta có : AB = AM + MB = 11 + 8 = 19 ( cm )

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào tam giác ABC, ta có :

AM / AB = AN / AC => AM + AB / AB = AN + AC / AC => 19 + 11 / 19 = AN + 38 / 38 => 30/19 = 38 + AN / 38

=> 1140 = 19.AN + 722

=> AN = ( 1140 - 722 ) / 19 = 22 ( cm )

=> NC = 38 - 12 = 26 ( cm )

chắc sang năm mới làm xong mất 

sang năm mk giúp bn na

qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K .

Vì EN song song với BK; NK song song với EB nên EB=NK;EN=BK (tính chất đoạn chắn)

nên NK=AD. Vì DM song song với BC nên góc( từ sau góc mình kí hiệu là >) DMA = >ACB . Vì NK song song với AB nên >A= >KNC \(\Rightarrow\) >B=>NKC Do đó ΔADM=ΔNKC (g.c.g). nên DM=KC

Suy ra DM+EN=BK+CK=BC(dpcm)

Từ N kẻ đường thẳng song song vói AB cắt BC tại K. Nối EK.

Xét ΔBEK và Δ NKE, ta có:

∠(EKB) =∠(KEN) (so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

∠(BEK) =∠(NKE) (so le trong vì NK // AB))

Suy ra: Δ BEK = Δ NKE(g.c.g)

Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng)

EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét Δ ADM và Δ NKC, ta có:

∠A =∠(KNC) (đồng vị vì NK // AB)

AD = NK ( vì cùng bằng BE)

∠(ADM) =∠(NKC) (vì cùng bằng góc B)

Suy ra: Δ ADM = Δ NKC(g.c.g)

Suy ra: DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM