Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi

Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)

\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))

Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)

Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)

\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)

Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chứng minh hoàn tất

Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.

Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)

Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!

Áp dụng BĐT cosi ta có

\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3}{4}x\)

\(\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3}{4}y\)

\(\frac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3}{4}z\)

Khi đó 

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\)

Mà \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

=> \(VT\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)

\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)

\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)

\(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

\(\Leftrightarrow xyz=\left(4-x-y-z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow xyz=16+x^2+y^2+z^2-8x-8y-8z+2xy+2xz+yz\)

\(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{16x-4xy-4xz+xyz}\)

\(=\sqrt{16x-4xy-4xz+16+x^2+y^2+z^2-8x-8y-8z+2xy+2yz+2xz}\)

\(=\sqrt{8x-2xy-2xz+2yz+x^2+y^2+z^2-8y-8z+16}\)

\(=\sqrt{\left(-x+y+z-4\right)^2}=\left|y+z-x-4\right|=\left|y+z-x-\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)\right|\)

\(=\left|-2x-\sqrt{xyz}\right|=2x+\sqrt{xyz}\) (Vì x > 0)

Tương tự : \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\) , \(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)

Suy ra \(B=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)

thay xyz=(4-x-y-z)²vào

Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)

Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)

Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)

Ô hay, em vừa tìm ra một cách chứng minh cho BĐT (2) nè:

Do x, y, z có vai trò hoán vị vòng quanh, không mất tính tổng quát giả sử \(y=min\left\{x,y,z\right\}\)

\(VT-VP=\frac{27y\left(y-z\right)^2+\left(4x+16z-11y\right)\left(y+z-2x\right)^2}{4}\ge0\)

Cái này gọi là mò:D