a) P = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹⁰¹

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3⁹⁹.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 13

Vậy P ⋮ 13

b) B = 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁰

= (1 + 2² + 2⁴) + (2⁶ + 2⁸ + 2¹⁰) + ... + (2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰²⁰)

= 21 + 2⁶.(1 + 2² + 2⁴) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2² + 2⁴)

= 21 + 2⁶.21 + ... + 2²⁰¹⁶.21

= 21.(1 + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁶) ⋮ 21

Vậy B ⋮ 21

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)

= 5.6.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

d) A = 1 + 4 + 4² + ... + 4⁹⁸

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁹⁷ + 4⁹⁸ + 4⁹⁹)

= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4⁹⁷.(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + ... + 4⁹⁷.21

= 21.(1 + 4³ + ... + 4⁹⁷) ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21

e) A = 11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + ... + 11 + 1

= (11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + 11⁶ + 11⁵) + (11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1)

= 11⁵.(11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1) + 16105

= 11⁵.16105 + 16105

= 16105.(11⁵ + 1)

= 5.3221.(11⁵ + 1) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

\(S=\left(1+4\right)+\left(4^2+4^3\right)+...+\left(4^{98}+4^{99}\right)\\ S=\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+...+4^{98}\left(1+4\right)\\ S=\left(1+4\right)\left(1+4^2+...+4^{98}\right)=5\left(1+4^2+...+4^{98}\right)⋮5\)

\(S=\left(1+4\right)+...+4^{98}\left(1+4\right)\)

\(=5\left(1+...+4^{98}\right)⋮5\)

viết dấu + cho nhanh, bạn!

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²¹

A = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ +...+ 4²⁰²¹

Xét dãy số 0; 1; 2; 3;...; 2021

Dãy số trên có số số hạng là:

(2021 - 0) : 1 + 1 = 2022

Vậy A có 2022 số hạng

vì 2022 : 3 = 674

Vậy ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A thành một nhóm thì khi đó

A = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) +...+ (4²⁰¹⁹ + 4²⁰²⁰ + 4²⁰²¹)

A = (1 + 4 + 16) + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... +4²⁰¹⁹.(1 + 4 + 4²)

A = 21 + 4³.21 +... + 4²⁰¹⁹.21

A = 21.(1 + 4³ + ... + 4²⁰¹⁹) 

21 ⋮ 21 ⇒ 21.(1 + 4³ + ...+ 4²⁰¹⁹) ⋮ 21 ⇒ A ⋮ 21 (đpcm)

Giải thích các bước giải:

A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 42021

A = 40 + 41 + 42 + 43 +...+ 42021

Xét dãy số 0; 1; 2; 3;...; 2021

Dãy số trên có số số hạng là:

(2021 - 0) : 1 + 1 = 2022

Vậy A có 2022 số hạng

vì 2022 : 3 = 674

Vậy ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của A thành một nhóm thì khi đó ta sẽ có

A = (1 + 4 + 42) + (43 + 44 + 45) +...+ (42019 + 42020 + 42021)

A = (1 + 4 + 16) + 43.(1 + 4 + 42) + ... +42019.(1 + 4 + 42)

A = 21 + 43.21 +... + 42019.21

A = 21.(1 + 43 + ... + 42019) 

21 ⋮ 21 ⇒ 21.(1 + 43 + ...+ 42019) ⋮ 21 ⇒ A ⋮ 21 (đpcm)

Vậy ta có thể biết A có thể chia hết cho 21 qua: 1+4+42+43+...+42021

Bài 1:

\(2^{49}=\left(2^7\right)^7=128^7;5^{21}=\left(5^3\right)^7=125^7\\ Vì:128^7>125^7\Rightarrow2^{49}>5^{21}\)

Bài 2:

\(a,S=1+3+3^2+3^3+...+3^{99}\\ =\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4.\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{96}.\left(1+3+3^2+3^3\right)\\ =40+3^4.40+...+3^{96}.40\\ =40.\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮40\\ b,S=1+4+4^2+4^3+...+4^{62}\\ =\left(1+4+4^2\right)+4^3.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{60}.\left(1+4+4^2\right)\\ =21+4^3.21+...+4^{60}.21\\ =21.\left(1+4^3+...+4^{60}\right)⋮21\)

Bài 1 :

\(2^{49}=\left(2^7\right)^7=128^7\)

\(5^{21}=\left(5^3\right)^7=125^7\)

mà \(125^7< 128^7\)

\(\Rightarrow2^{49}>5^{21}\)

Bài 2 :

a) \(S=1+3+3^2+3^3+...3^{99}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)...+3^{96}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(\Rightarrow S=40+40.3^4+...+40.3^{96}\)

\(\Rightarrow S=40\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮40\)

\(\Rightarrow dpcm\)

b) \(S=1+4+4^2+4^3+...4^{62}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+4+4^2\right)+4^3\left(1+4+4^2\right)+...4^{60}\left(1+4+4^2\right)\)

\(\Rightarrow S=21+4^3.21+...4^{60}.21\)

\(\Rightarrow S=21\left(1+4^3+...4^{60}\right)⋮21\)

\(\Rightarrow dpcm\)

\(A=\left(1+4+4^2\right)+...+4^{57}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21\left(1+...+4^{57}\right)⋮7\)

cứ tổng của 3 số liên tiếp được 1 số chia hết cho 7
=> (1+4+4^2)+(4^3+4^4+4^5)+.....+(4^57+4^58+4^59)(20 cặp số)
=> 21+ 4^3(1+4+4^2)+...+4^57(1+4+4^2)
......
Vì 21 chia hết cho 7=> 21.(........) chia hết cho 7=> A chia hết cho 7
đpcm

(1+4+4²)+(4²+4³+4⁴)+...+(4⁵⁷+4⁵⁸+4⁵⁹⁾

=21.(1+4³+4⁵⁷) chi hết cho 7

=> A chia hết cho 7(do 21 chia hết cho 7)

a: \(=2^2\left(1+2\right)+2^4\left(1+2\right)=3\left(2^2+2^4\right)⋮3\)

b: \(=4^{20}\left(1+4\right)+4^{22}\left(1+4\right)=5\left(4^{20}+4^{22}\right)⋮5\)

c: \(A=\left(1+4+4^2\right)+...+4^{96}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21\left(1+...+4^{96}\right)⋮21\)

d: \(B=7\left(1+7\right)+7^3\left(1+7\right)+...+7^{35}\left(1+7\right)\)

\(=8\left(7+7^3+...+7^{35}\right)⋮8\)

\(B=7\left(1+7+7^2\right)+...+7^{34}\left(1+7+7^2\right)\)

\(=57\left(7+...+7^{34}\right)\) chia hếtcho 3 và 19

A = 1 + 4 + 42 +43 +… + 458 +459

A = (l + 4 + 42) + (43 +44 + 45) + ... + (457+ 458 +459)

A = (1 + 4 + 42) + 43.(1 + 4 + 42) +... + 457 (1 + 4 + 42)

A= 21 + 43.21 + ... + 457.21 .

Do đó  A ⋮ 21

thế có chia hết cho 5 ko vậy

nhầm nhé so sorry

2. b)

Vì 332 chia a dư 17 nên ( 332-17) \(⋮\)a => 315\(⋮\)a

Vì 555 chia a dư 15 nên ( 555-15)\(⋮\)a =>540\(⋮\)a

Vì 315\(⋮\)a mà 540\(⋮\)a nên a \(\in\)ƯCLN( 315;540)

315= 3².5.7

540= 2^2..3³.5

ƯCLN(315;540) =5.3²= 45

Vậy...

Ko chắc

2

a) ta có : aaa . bbb 

             =a . 111 . b . 111

             =a . 37.3 .b .111

=>   a.37.3.b.111 chia hết cho 37 hay aaa.bbb chia hết cho 37

mình nghĩ thế , ko chắc đúng đâu nhé