\(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FC}\Rightarrow\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{EI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{IF}=\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EF}\right)\Rightarrow\overrightarrow{EI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}\)

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{AE}+\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AE}+\frac{3}{7}\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\right)=\frac{4}{7}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}\)

\(\overrightarrow{AI}=\frac{4}{7}.\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{7}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{4}{7}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow A;M;I\) thẳng hàng

đợi mình 5 phút

                                                                                  Giải

a) vì m la trung diểm của BC => BM=MC

Xét tam giac BAM va tam giac MAC có:

AB=AC(dề bài cho)

BM=MC(Chung minh tren)

AM la cạnh chung(de bai cho)

=>Tam giác BAM=tam giac MAC(c.c.c)

b)từ trên

=>góc BAM=góc MAC(hai goc tuong ung)

Tia AM nam giua goc BAC (1)

goc BAM=goc MAC(2)

từ (1) va (2)

=>AM la tia phan giac cua goc BAC

c)Còn nữa ......-->

B)vi goc BAM =90 độ

            MAC=90 độ

=>AM vuông góc voi BC

khó thế

có phải toaán lớp 7 k đấy. hay toán 6

Xét ∆ AMB và ∆ AMC có :

AB = AC ( gt )

AM là cạnh chung

BM = MC ( M là trung điểm của cạnh BC )
\(\Rightarrow\)∆ AMB = ∆ AMC ( c - c - c )

b) Vì  ∆ AMB = ∆ AMC ( cmt )

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)( 2 góc tương ứng )

 Vì M là trung điểm của cạnh BC 

 \(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\)

Ta có  :

\(\widehat{M}_1+\widehat{M_2}=180^o\)( 2 góc kề bù )

mà \(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\)

\(\Rightarrow\frac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

c) Xét ∆ AGE và ∆ AGF có :

AE = GF ( gt ) 

AG là cạnh chung 

GE = GF ( gt )

\(\Rightarrow\) ∆ AGE = ∆ AGF  ( c - c - c )

Vì  ∆ AGE = ∆ AGF ( cmt ) 

\(\Rightarrow\widehat{AGE}=\widehat{AGF}\)( 2 góc tương ứng ) (1)

Mà AG nằm giữa cạnh EF 

\(\Rightarrow AG\perp EF\)

Ta có :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AM\perp BC\\AM\perp EF\end{cases}}\)

Vì AM cùng vuông góc với BC,EF

\(\Rightarrow\)EF // BC

d) Mình chỉ biết vẽ hình câu d) chứ không biết làm =))))

Xét ΔBAD có BI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

=>\(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{6}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{5}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\)

\(=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)

=>\(\overrightarrow{BI}=\dfrac{5}{6}\cdot\overrightarrow{BM}\)

=>B,I,M thẳng hàng

Cách 1: Dùng định lý Menelaus đảo:

Từ đề bài, ta có \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{IA}{ID}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}.\dfrac{MC}{MA}.\dfrac{IA}{ID}=1\)

Theo định lý Menelaus đảo, suy ra B, I, M thẳng hàng.

Cách 2: Dùng vector

 Ta có \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) 

\(=\dfrac{1}{6}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

Lại có \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{MC}{AC}\overrightarrow{BA}+\dfrac{MA}{AC}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{6}\left(3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{BI}\)

Vậy \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{BI}\), suy ra B, I, M thẳng hàng. 

:)

a: Xét ΔABM và ΔACM có 

AB=AC

AM chung

BM=CM

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường cao

c: Xét ΔABC có 

AE/AB=AF/AC

Do đó: EF//BC

Bài 1:

a: Xét ΔABD có E,I lần lượt là trung điểm của BA,BD

=>EI là đường trung bình của ΔABD

=>EI//AD và EI=AD/2

EI//AD

D\(\in\)AC

Do đó: EI//AC

Xét ΔBDC có

I,M lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>IM là đường trung bình của ΔBDC

=>IM//DC và IM=DC/2

IM//DC

D\(\in\)AC

Do đó: IM//AC

IM//AC

EI//AC
IM,EI có điểm chung là I

Do đó: E,I,M thẳng hàng

Xét ΔBEC có

M,K lần lượt là trung điểm của CB,CE

=>MK là đường trung bình của ΔBEC

=>MK//EB và MK=EB/2

MK//EB

E\(\in\)AB

Do đó: MK//AB

Xét ΔACE có

D,K lần lượt là trung điểm của CA,CE
=>DK là đường trung bình của ΔAEC

=>DK//AE và DK=AE/2

DK//AE

E\(\in\)AB

Do đó: DK//AB

DK//AB

MK//AB

DK,MK có điểm chung là K

Do đó: D,M,K thẳng hàng

b: MI=DC/2

EI=AD/2

mà AD=DC

nên MI=EI

=>I là trung điểm của ME

MK=BE/2

DK=AE/2

mà BE=AE

nên MK=DK

=>K là trung điểm của DM

Xét ΔMED có

I,K lần lượt là trung điểm của ME,MD

=>IK là đường trung bình

=>IK//ED và IK=ED/2

c: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>\(ED=\dfrac{BC}{2}\)

\(IK=\dfrac{ED}{2}=\dfrac{BC}{2}:2=\dfrac{BC}{4}=\dfrac{4}{4}=\dfrac{4}{4}=1\left(cm\right)\)