Vậy đẳng thức đúng với n = 1.

\(k^4-k^2\) chia hết cho 12

Ta có:

(k + 1)⁴ - (k + 1)²

\(=\left(k+1\right)^2\left[\left(k+1\right)^2-1\right]\)

\(=\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)k\) chia hết cho 12

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Kết luận: Vậy n⁴ - n² chia hết cho 12 với mọi số nguyên dương N.

P/s: e chưa đc học phương pháp quy nạp nên chỉ có thể nhìn theo bài mẫu rồi trình bày tương tự thoy, nên có j sai, mong a bỏ qua cho a~ ^^

a) Ta có: góc AME = 90 độ (góc nt chắn nửa đt)
=> AN vuông góc EM tại M
Mặt khác: ACN = 90 độ (góc nt chắn nửa đt)
=> AE vuông góc CN tại C
Xét tam giác ANE có : NC và EM là các đường cao
=> B là trực tâm tam giác ANE
=> AB vuông góc NE (t/c trực tâm tam giác)
b) Ta có M là trung điểm AN (t/c đối xứng)
và M cũng là trung điểm EF (t/c đói xứng)
Do đó tứ giác AENF là hính bình hành
=> FA song song NE
Mà NE vuông góc AB (cmt)
=> FA vuông góc AB tại A thuộc (O)
Vậy FA là tiếp tuyến của đt (O)
c)Ta có M là trung điểm AN (t/c đối xứng)
AN vuông góc BF tại M (góc AMB =90 độ)
=> BF là đường trung trực của AN
Xét tam giác AFB và tam giác NFB có
1/ BF cạnh chung
2/ FA = FN (t/c đ trung trực)
3/ BA = BN (t/c đ trung trực)
=> tam giác AFB = tam giác NFB
=> góc FAB = góc FNB
Mà FAB = 90 độ (cmt)
=> góc FNB bằng 90 độ
=> FN vuông góc với BN tại N thuộc (B;BN)
Mà BN = AB
=> FN là tiếp tuyến cửa đt (B;AB)

d) tam giac NBF vuong tai N co NB²=BM*BF(HE THUC LUONG trong tam giac vuong) (1)

ma NB²+NF²=BF²

=> NB²=BF²-NF²⁽2)

(1;2)=> BM*BF=BF²-NF²(=NB²)

\(1^2+2^2+3^2+.......+n^2=1\times\left(2-1\right)+2\times\left(3-1\right)+.......+n\left(\left(n+1\right)-1\right)\)=\(\left(1.2+2.3+3.4+......+n\left(n+1\right)\right)-\left(1+2+3+.....+n\right)\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-0.1.2}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

sử dụng qui nạp: 
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*) 
(*) đúng khi n= 1 
giả sử (*) đúng với n= k, ta có: 
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1) 
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta: 
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) + (k + 1)² 
= (k+1)\(\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right)\)= (k + 1)\(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k^2+7k+6}{6}\) = (k + 1)\(\frac{2k^2+4k+3k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)}{6}\) = (k + 1)\(\frac{\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*

Hồng Trinh đúng rồi nhưng mà dùng quy nạp cơ

Câu hỏi của Phan Thị Bích Hằng

\(11\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow11^n\equiv1^n\left(mod5\right)\Rightarrow11^n-1⋮5\)

Tương tự: \(7^n\equiv2^n\left(mod5\right)\Rightarrow7^n-2^n⋮5\)

\(\Rightarrow A⋮5\)

\(11^n\equiv2^n\left(mod3\right)\Rightarrow11^n-2^n⋮3\)

\(7^n\equiv1^n\left(mod3\right)\Rightarrow7^n-1⋮3\)

\(\Rightarrow A⋮3\)

Mà 3 và 5 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(3.5\right)\) hay \(A⋮15\)

a, Ta có: DH là đường cao trong tam giác cân DEF

⇒DH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác cân DEF

⇒HE=HF 

Ta có: HE=HF=EF/2=8/2=4 (cm)

Xét ΔDHE vuông tại H

Theo định lý Pi-ta-go, ta có:

DF²=DH²+HF²

⇒DH²=DF²-HF²

⇒DH²=5²-4²

⇒DH²=9

⇒DH=√9=3 (cm)

b, Xét ΔDME và ΔDNF có:

DM=DN (GT)

A là góc chung

DE=DF (GT)

⇒ ΔDME=ΔDNF (c.g.c)

⇒EM=FN (2 cạnh tương ứng)

    DEM=DFN (2 góc tương ứng)

c, Ta có: E=F (GT)

và DEM=DFN (cmt)

⇒KEF=KFE 

⇒ΔKEF cân tại K

⇒KE=KF

d, Ta có: DH⊥EF và HE=HF

⇒DH là đường trung trực của EF

mà KE=KF

⇒K là điểm thuộc đường trung trực DH

⇒D, K, H thẳng hàng