Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức:\(\dfrac{x^2-1}{\left(x^2-2x+1\right)}=\dfrac{x+1}{\left(x^2-x-6\right)B}\)
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :
a) \(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)Q}{x^2-4}\)
b) \(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x^2-1}=\dfrac{\left(x-2\right)Q}{x^2-2x+1}\)
a) \(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)Q}{x^2-4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(x+2\right)P=\left(x-2\right)\left(x-1\right)Q\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2\left(x-2\right)P=\left(x-2\right)\left(x-1\right)Q\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2P=\left(x-1\right)Q\)
\(\Leftrightarrow P=x-1\)
\(Q=\left(x+2\right)^2=x^2+4x+4\)
b)\(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x^2-1}=\dfrac{\left(x-2\right)Q}{x^2-2x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)P=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)Q\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)P=\left(x+1\right)\left(x-2\right)Q\)
\(\Leftrightarrow P=\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x^2-x-2\)
\(Q=\left(x-1\right)\left(x+2\right)=x^2+x-2\)
Tìm x thỏa mãn đẳng thức: \(8\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^x\)
=>\(8\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^x\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^x\)
=>\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^x\cdot\left(8x-4-1\right)=0\)
=>8x-5=0
=>x=5/8
1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
\(x^5-x^4+\left(y+2\right)x^3+\left(y-2\right)x^2+yx+y^2\)
2. Cho các số dương thỏa mãn:
\(\dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}=2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tính giá trị biểu thức sau: \(P=\left(a-b\right)^{2009}+\left(b-c\right)^{2009}+\left(c-a\right)^{2009}\)
3. Cho x,y,x đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
\(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-xz}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\) thì ta có:
\(\dfrac{a^2-bc}{x}=\dfrac{b^2-ca}{y}=\dfrac{c^2-ab}{z}\)
1.
\(y^2+y\left(x^3+x^2+x\right)+x^5-x^4+2x^3-2x^2\)
\(\Delta=\left(x^3+x^2+x\right)^2-4\left(x^5-x^4+2x^3-2x^2\right)\)
\(=\left(x^3-x^2+3x\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-x^3-x^2-x+x^3-x^2+3x}{2}=-x^2+x\\y=\dfrac{-x^3-x^2-x-x^3+x^2-3x}{2}=-x^3-2x\end{matrix}\right.\)
Hay đa thức trên có thể phân tích thành:
\(\left(x^2-x+y\right)\left(x^3+2x+y\right)\)
Dựa vào đó em tự tách cho phù hợp
2.
\(VT=a\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+b\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+c\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)
\(VT\ge\dfrac{2a}{bc}+\dfrac{2b}{ac}+\dfrac{2c}{ab}=2\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)
\(VP=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
3.
\(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-xz}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x^2-yz}{a}\right)^2=\left(\dfrac{y^2-xz}{b}\right)\left(\dfrac{z^2-xy}{c}\right)=\dfrac{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-xz\right)\left(z^2-xy\right)}{a^2-bc}\)
\(=\dfrac{x\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{a^2-bc}\)
Tương tự:
\(\left(\dfrac{y^2-xz}{b}\right)^2=\dfrac{y\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{b^2-ac}\)
\(\left(\dfrac{z^2-xy}{c}\right)^2=\dfrac{z\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{c^2-ab}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{a^2-bc}=\dfrac{y\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{b^2-ac}=\dfrac{z\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{c^2-ab}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{a^2-bc}=\dfrac{y}{b^2-ac}=\dfrac{z}{c^2-ab}\Rightarrowđpcm\)
chứng minh đẳng thức lượng giác
a) \(\dfrac{1-cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{1-sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\) - cot\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) . tan\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) = \(\dfrac{1}{sin^2x}\)
b) \(\left(\dfrac{1}{cos2x}+1\right)\).tan\(x\) = \(tan2x\)
Để chứng minh các định lượng đẳng cấp, ta sẽ sử dụng các công thức định lượng giác cơ bản và các quy tắc biến đổi đẳng thức. a) Bắt đầu với phương trình ban đầu: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan( π/2 - x) Ta biết rằng: cos^2(π/2 - x) = sin^2(x) (công thức lượng giác) sin^2(π/2 - x) = cos^2(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình ban đầu, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/ 2 - x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số lượng giác: cot(π/2 - x) = cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x) = sin(x) / cos(x) = tan(x) (công thức lượng giác) tan(π/2 - x) = sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x) = cos(x) / sin(x) = 1 / tan(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -tan(x) * (1/tan(x)) = -1 Vì vậy, ta đã chứng minh là đúng. b) Bắt đầu với phương thức ban đầu: (1/cos^2(x) + 1) * tan(x) = tan^2(x) Tiếp tục chuyển đổi phép tính: 1/cos^2(x) + 1 = tan^2(x) / tan(x) = tan(x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số giá trị lượng giác: 1/cos^2(x) = sec^2(x) (công thức) lượng giác) sec^2(x) + 1 = tan^2(x) + 1 = sin^2(x)/cos^2(x) + 1 = (sin^2(x) + cos^2(x) ))/cos^2(x) = 1/cos^2(x) Thay thế vào phương trình ban đầu, ta có: 1/cos^2(x) + 1 = 1/cos^2(x) Do đó, ta đã chứng minh được b)đúng.
1.Phân tích đa thức thành nhân tử
a.\(2x^3+3x^2-2x\) b.\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24\)
2.Cho A=\(\dfrac{2x+1}{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{x+3}{x-4}+\dfrac{2x-1}{x-3}\)
a.Rút gọn biểu thức A
b.tính giá trị của A biết \(x^2+20=9x\)
3.Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia:\(\left(2x^2-7x^2:13x:2\right):\left(2x-1\right)\)
Bài 1:
a. $2x^3+3x^2-2x=2x(x^2+3x-2)=2x[(x^2-2x)+(x-2)]$
$=2x[x(x-2)+(x-2)]=2x(x-2)(x+1)$
b.
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$
$=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24$
$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$
$=a(a+2)-24$ (đặt $x^2+5x+4=a$)
$=a^2+2a-24=(a^2-4a)+(6a-24)$
$=a(a-4)+6(a-4)=(a-4)(a+6)=(x^2+5x)(x^2+5x+10)$
$=x(x+5)(x^2+5x+10)$
Bài 2:
a. ĐKXĐ: $x\neq 3; 4$
\(A=\frac{2x+1-(x+3)(x-3)+(2x-1)(x-4)}{(x-3)(x-4)}\\ =\frac{2x+1-(x^2-9)+(2x^2-9x+4)}{(x-3)(x-4)}\\ =\frac{x^2-7x+14}{(x-3)(x-4)}\)
b. $x^2+20=9x$
$\Leftrightarrow x^2-9x+20=0$
$\Leftrightarrow (x-4)(x-5)=0$
$\Rightarrow x=5$ (do $x\neq 4$)
Khi đó: $A=\frac{5^2-7.5+14}{(5-4)(5-3)}=2$
Bài 3:
$(2x^2-7x^2:13x:2):(2x-1)=(2x^2-\frac{7}{26}x):(2x-1)$
$=[x(2x-1)+\frac{19}{52}(2x-1)+\frac{19}{52}]:(2x-1)$
$=[(2x-1)(x+\frac{19}{52})+\frac{19}{52}]: (2x-1)$
$\Rightarrow$ thương là $x+\frac{19}{52}$ và thương là $\frac{19}{52}$
chứng minh đẳng thức lượng giác
a) \(\dfrac{1-cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{1-sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\)- cot\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\).tan\(\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)= \(\dfrac{1}{sin^2x}\)
b) \(\left(\dfrac{1}{cos2x}+1\right)\).tan\(x\) = tan\(2x\)
a) Để chứng minh đẳng thức: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/2 - x) ta sẽ chứng minh cả hai phía bằng nhau. Bên trái: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = sin^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = sin^2(π/2 - x) / cos^2(π/2 - x) = (sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x))^2 = (cos(x) / sin(x))^2 = cot^2(x) Bên phải: -cot(π/2 - x) * tan(π/2 - x) = -cot(π/2 - x) * (1 / tan(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * (cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x)) = -(cos(x) / sin(x)) * (sin(x) / cos(x)) = -1 Vậy, cả hai phía bằng nhau và đẳng thức được chứng minh. b) Để chứng minh đẳng thức: (1 + cos^2(x)) * (1 + cot^2(x)) * tan(x) = tan^2(x) ta sẽ chứng minh cả hai phía bằng nhau. Bên trái: (1 + cos^2(x)) * (1 + cot^2(x)) * tan(x) = (1 + cos^2(x)) * (1 + (cos(x) / sin(x))^2) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * (1 + cos^2(x) / sin^2(x)) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * (sin^2(x) + cos^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * 1 / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (cos^2(x) + sin^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = 1 / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = tan^2(x) Bên phải: tan^2(x) Vậy, cả hai phía bằng nhau và đẳng thức được chứng minh.
Tìm x thỏa mãn cả 2 bpt
a,\(\dfrac{\left(x-3\right)^2}{3}-\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{12}< x\)
b,\(2+\dfrac{3\left(x+1\right)}{3}< 3-\dfrac{x-1}{4}\)
a, \(\dfrac{4\left(x-3\right)^2-\left(2x-1\right)^2-12x}{12}< 0\)
\(\Rightarrow4\left(x^2-6x+9\right)-4x^2+4x-1-12x< 0\)
\(\Leftrightarrow-32x+35< 0\Leftrightarrow x>\dfrac{35}{32}\)
b, \(\dfrac{24+12\left(x+1\right)-36+3\left(x-1\right)}{12}< 0\)
\(\Rightarrow-12x+15x+9< 0\Leftrightarrow3x< -9\Leftrightarrow x>-3\)
1.Cho A=\(\dfrac{2x+1}{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{x+3}{x-4}+\dfrac{2x+1}{x-3}\)
a.Rút gọn biểu thức A
b.Tính giá trị của A biết \(x^2+20=9x\)
2.Tìm đa thức thương vfa đa thức dư trong phép chia:\(\left(2x^3-7x^2+13x+2\right):\left(2x-1\right)\)
3.Cho hình thang ABCD có góc A = góc D = 90 độ,AB=AD=\(\dfrac{1}{2}\)CD.Gọi M là trung điểm của CD.
a.Tứ giác ABCM;ABCD là hình gì?Vì sao?
b.Cho AC cắt BD tại E, AM cắt BD tại O.Gọi N là trung điểm của MC.C/m tứ giác DOEN là hình thang cân.
c.Kẻ DI vuông góc vs AC (I thuộc AC) DI cắt AM tại H.Gọi K là giao điểm của AM và DE.C/m DH=DK
(vẽ hình giúp e vs ạ, e cảm ơn)
Cho 2 đơn thức
\(A\left(x\right)=-2x^3+11x^2-5x-\dfrac{1}{5}\)
\(B\left(x\right)=2x^3-3x^2-7x+\dfrac{1}{5}\)
a) Tính A(x) + B(x)
b) Tìm đa thức C(x) biết C(x) +B(x) = A(x)
a: \(A\left(x\right)+B\left(x\right)\)
\(=-2x^3+11x^2-5x-\dfrac{1}{5}+2x^3-3x^2-7x+\dfrac{1}{5}\)
\(=8x^2-12x\)
b: C(x)=A(x)-B(x)
\(=-2x^3+11x^2-5x-\dfrac{1}{5}-2x^3+3x^2+7x-\dfrac{1}{5}\)
\(=-4x^3+14x^2+2x-\dfrac{2}{5}\)