Ta có:

∠M + ∠N + ∠P + ∠Q = 360⁰ (tổng các góc trong tứ giác MNPQ)

⇒ ∠M + ∠N + ∠P + (∠P + 10⁰) = 360⁰

⇒ ∠M + ∠N + (∠N + 10⁰) + (∠N + 10⁰ + 10⁰) = 360⁰

⇒ ∠M + (∠M + 10⁰) + (∠M + 10⁰ + 10⁰) + (∠M + 10⁰ + 10⁰ + 10⁰)

⇒ ∠M + ∠M + 10⁰ + ∠M + 20⁰ + ∠M + 30⁰ = 360⁰

⇒ 4∠M + 60⁰ = 360⁰

⇒ 4∠M = 360⁰ - 60⁰

⇒ 4∠M = 300⁰

⇒ ∠M = 300⁰ : 4

⇒ ∠M = 75⁰

⇒ ∠N = 75⁰ + 10⁰ = 85⁰

⇒ ∠P = 85⁰ + 10⁰ = 95⁰

⇒ ∠Q = 95⁰ + 10⁰ = 105⁰

\(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360^o\)

\(\widehat{M}+\widehat{M}+10+\widehat{M}+20+\widehat{M}+30=360\)

\(4\widehat{M}=360-60=300\Rightarrow M=75^o\)

Trong tứ giác \(ABCD\), tổng các góc bằng \(360^\circ \) nên ta có:

\(\begin{array}{l}x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ \\10x = 360^\circ \\x = 360^\circ :10\\x = 36^\circ \end{array}\)

Suy ra:

\(\widehat A = 36^\circ ;\;\widehat B = 72^\circ ;\;\widehat C = 108^\circ ;\;\widehat D = 144^\circ \)

Ta có: = - = 80^o – 30^o = 50^o (1)

- ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên = = 55^o (2)

- ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên = 50^o (theo (1))

Vậy = 180^o – 2. 50^o = 80^o

= sđcung BCD (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)

=> sđ cung BCD = 2 = 2. 80^o = 160^o

Mà sđ cung BC = = 70^o (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Vậy cung DC = 160^o – 70^o = 90^o (vì C nằm trên cung nhỏ cung BD)

Suy ra = 90^{o (4)}

∆MAD là tam giác cân (MA= MD)

Suy ra = 180^o – 2.30^o = 120^o (5)

∆MCD là tam giác vuông cân (MC= MD) và = 90^o

Suy ra = = 45^o (6)

= 100^o theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD

Ta có: = - = 80^o – 30^o = 50^o (1)

- ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên = = 55^o (2)

- ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên = 50^o (theo (1))

Vậy = 180^o – 2. 50^o = 80^o

= sđcung BCD (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)

=> sđ cung BCD = 2 = 2. 80^o = 160^o

Mà sđ cung BC = = 70^o (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Vậy cung DC = 160^o – 70^o = 90^o (vì C nằm trên cung nhỏ cung BD)

Suy ra = 90^{o (4)}

∆MAD là tam giác cân (MA= MD)

Suy ra = 180^o – 2.30^o = 120^o (5)

∆MCD là tam giác vuông cân (MC= MD) và = 90^o

Suy ra = = 45^o (6)

= 100^o theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD

Theo bài ra ta có: \(\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\widehat{\frac{D}{4}}\) 
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+2+3+4}=\frac{360^0}{10}=36\)
\(\Rightarrow\frac{\widehat{A}}{1}=36\Rightarrow\widehat{A}=36.1=36^0\)
\(\Rightarrow\frac{\widehat{B}}{2}=36\Rightarrow\widehat{B}=36.2=72^0\)
\(\Rightarrow\frac{\widehat{C}}{3}=36\Rightarrow\widehat{C}=36.3=108^0\)
\(\Rightarrow\frac{\widehat{D}}{4}=36\Rightarrow\widehat{D}=36.4=144^0\)

góc C-góc D=200-180=20 độ

góc C+góc D=120 độ

=>góc C=(20+120)/2=70 độ và góc D=120-70=50 độ

góc B=200-70=130 độ

góc A=180-70=110 độ