a) 

b) Vì tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:

\(\overrightarrow {OD}  = \left( { - 1;4} \right),\overrightarrow {OE}  = \left( {0; - 3} \right),\overrightarrow {OF}  = \left( {5;0} \right)\)

c) 

Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ   và \(\overrightarrow j \)là

 và \(\overrightarrow j  = (0;1)\)

(1); vecto u=2*vecto a-vecto b

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot1-0=2\\y=2\cdot\left(-4\right)-2=-10\end{matrix}\right.\)

(2): vecto u=-2*vecto a+vecto b

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\cdot\left(-7\right)+4=18\\y=-2\cdot3+1=-5\end{matrix}\right.\)

(3): vecto a=2*vecto u-5*vecto v

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\cdot\left(-5\right)-5\cdot0=-10\\b=2\cdot4-5\cdot\left(-3\right)=15+8=23\end{matrix}\right.\)

(4): vecto OM=(x;y)

2 vecto OA-5 vecto OB=(-18;37)

=>x=-18; y=37

=>x+y=19

Do M nằm trên đoạn AB nên \(\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(x-2;y-1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(x-6;y-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=-3\left(x-6\right)\\y-1=-3\left(y-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\x=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M=\left(5;4\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\left(-3;2\right)\); \(\overrightarrow{AC}\left(1;m-2\right)\).
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:
\(\dfrac{1}{-3}=\dfrac{m-2}{2}\Leftrightarrow-3\left(m-2\right)=2\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\).

a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u  = a.b + b.( - a) = 0\)

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá là đường thẳng \(\Delta\)

=> luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \)

=> vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có phương vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)

AB=căn 5

AB: (x-1)/1=(y-3)/-2

=>2x+y-5=0

M thuộc Δ nên M(m;2-m)

\(d\left(M;AB\right)=\dfrac{\left|m-3\right|}{\sqrt{5}}\)

\(S_{AMB}=\dfrac{1}{2}\cdot MH\cdot AB=4\)

=>|m-3|=8

=>m=11(nhận) hoặc m=-5(loại)

=>M(11;-9)

=>3a+5b=3*11+5*(-9)=-12

Khoảng cách hai điểm M,I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \)

\(\overrightarrow {MI}  = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \)

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng $AB$ là $y=ax+b$

Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} 4=2a+b\\ -1=-3a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow 5a=5\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2\)

Vậy ptđt $AB$ có dạng $y=x+2$

Lại thấy: \(1\neq (-2)+2\) nên $C$ không thể thuộc đường thẳng $AB$

Suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng. Bạn xem lại đề.

Gọi \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right);C\left(x_3;y_3\right)\)

Độ dài AB: \(AB=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(2-\left(-3\right)\right)^2+\left(4-\left(-1\right)^2\right)}\) \(=5\sqrt{2}\) (đvđd)

Độ dài BC: \(BC=\sqrt{\left(\left(-3\right)-\left(-2\right)\right)^2+\left[\left(-1\right)-1\right]^2}\)

\(=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}\) \(=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)(đvđd)

\(AC=\sqrt{\left(2-\left(-2\right)\right)^2+\left(4-1\right)^2}=5\)(đvđd)

\(\Rightarrow AB+BC\ne AC\)\(\Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng