b: Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=EF

a: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=FE

Lời giải:

Bạn tự vẽ hình nhé.

a) Ta thấy \(\widehat{MFC}=90^0-\widehat{MAF}(1)\)

VÌ $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM=MC\)

\(\Rightarrow \triangle AMB\) cân tại $M$

\(\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MBA}=\widehat{MAB}=90^0-\widehat{MAF}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{MFC}=\widehat{MBE}\)

Xét tam giác $MBE$ và $MFC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBE}=\widehat{MFC}\\ \widehat{BME}=\widehat{FMC}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle MBE\sim \triangle MFC(g.g)\)

b) Theo phần a thì \(\widehat{MBE}=\widehat{MFC}\Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\)

Xét tam giác $ABC$ và $AFE$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\\ \text{chung góc A}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle AFE(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)

c)

Do $AH,AM$ là hai đường cao tương ứng đỉnh $A$ của hai tam giác đồng dạng $ABC$ và $AFE$ nên \(\frac{AH}{AM}=\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\)

Do đó \(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\frac{\frac{AB.AC}{2}}{\frac{AE.AF}{2}}=\frac{AB}{AF}.\frac{AC}{AE}=\left(\frac{AH}{AM}\right)^2(*)\)

Xét tam giác $AMI$ và $AHM$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc A}\\ \widehat{AMI}=\widehat{AHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMI\sim \triangle AHM(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AM}{AI}=\frac{AH}{AM}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\left(\frac{AM}{AI}\right)^2\) (đpcm)

a) Gọi G là trung điểm của EC.

Xét ΔBEC có: EG = CG (cách vẽ); BM = CM (gt).

=> MG là đường trung bình của ΔBEC.

=> MG // BE hay MG // DE.

Ta có: \(AE+EG+GC=AC\)

mà \(AE=\dfrac{1}{3}AC\) (1)

=> \(EG+GC=\dfrac{2}{3}AC\)

lại có: EG = GC (cách vẽ).

=> \(EG=GC=\dfrac{1}{3}AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = EG = GC.

Xét ΔAMG có: MG // DE (cmt); AE = EG (cmt).

=> AD = MD.

b) Lấy H là trung điểm của BF.

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: \(AF:FH:HB=AE:EG:GC\)

mà AE = EG = GC (câu a).

=> AF = FH = HB.

Xét ΔAHG có: AE = GE (cm ở câu a); AF = FH (cmt).

=> EF là đường trung bình của ΔAHG.

=> EF // HG.

tương tự nếu cm đc HG // BC thì bắc cầu lại EF // BC.

a: Gọi K là trung điểm của EC

=>AE=EK=KC

Xét ΔBEC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của EC

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BE và MK=BE/2

Xét ΔAMK có 

E là trung điểm của AK

ED//MK

Do đó: D là trung điểm của AM

b: Gọi G là trung điểm của FB

Xét ΔBFC có

G là trung điểm của BF

M là trung điểm của BC

Do đó: GM là đường trung bình

=>GM//FC

hay FD//GM

Xét ΔAGM có

D là trung điểm của AM

DF//GM

Do đó: F là trung điểm của AG

=>AF=FG=GB

=>AF=1/3AB

Xé ΔABC có AF/AB=AE/AC
nên FE//BC

a, Vì HE ⊥ AB ; FA ⊥ AB => HE // FA (từ ⊥ đến // )

+, EA ⊥ AC ; HF ⊥ AC => EA // HF (từ ⊥ đến // )

Xét tứ giác AEHF có: HE // FA (cmt) ; EA // HF (cmt)

=> Tứ giác AEHF là hình bình hành (dhnb)

 mà \(\hat{EAF} =90^0\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> AH = EF

b, Vì AEHF là hình chữ nhật (cmt)

=> EH//AF;  EH = AF mà AF= FK (gt)

=> EH = FK

+, Xét tứ giác EHKF có: EH = FK (cmt)

                                 EH // FK (do EH // AF; K ∈ AF)

=> Tứ giác EHKF là hình bình hành (dhnb)