tìm điều kiện tham số m để hệ bất phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\sqrt{2xy+m}\ge1\\x+y\le1\end{matrix}\right.\)
có nghiệm duy nhất
cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)(m là tham số ).Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge1\end{matrix}\right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)
=>\(m^2\ne1\)
=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)
Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)
=>m<-1
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+\left(m-1\right)y=2\\\left(m+1\right)x-y=m+1\end{matrix}\right.\)
a, giải hệ với m = 1/2
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện x>y
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}y=2\\\dfrac{3}{2}x-y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=4\\3x-2y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=8\\3x-2y=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\2x-y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=2x-4=6\end{matrix}\right.\)
Cho hệ phương trình (m là tham số) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\) tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Hệ đẫ cho có nghiệm duy nhất khi \(m\ne-1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m\left(1+y\right)+y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\m+my+y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y\left(m+1\right)=0\end{matrix}\right.\) (*)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) m + 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) -1
Khi đó: (*) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+y\\y=\dfrac{0}{m+1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+0=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy m \(\ne\) -1 thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
Chúc bn học tốt!
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(2x+y=9\\\)
Kết hợp điều kiện đề bài và pt thứ 2 của hệ ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=-6\\2x+y=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=7\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt đầu:
\(m.1+2.7=18\Rightarrow m=4\)
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\2x-y=m-1\end{matrix}\right.\)(m là tham số)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x,y là sô nguyên
Lời giải:
$x+y=1\Leftrightarrow y=1-x$. Thay vô pt $(2)$:
$2x-(1-x)=m-1$
$\Leftrightarrow 3x-1=m-1$
$\Leftrightarrow 3x=m(*)$
Để pt ban đầu có nghiệm $x,y$ nguyên duy nhất thì pt $(*)$ phải có nghiệm nguyên $x$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $m=3k$ với $k\in\mathbb{Z}$
Khi đó: $3x=3k\Leftrightarrow x=k$
$y=1-x=1-k$
Vậy để hpt có nghiệm thỏa đề thì $m=3k$ với $k\in\mathbb{Z}$
.
Cho hệ phương trình với tham số m:\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y ) mà S= y–x đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m\left(2-my\right)-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-m^2y-2y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-\left(m^2y+2y\right)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m^2y+2y=2m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y\left(m^2+2\right)=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-\dfrac{m\cdot\left(2m-1\right)}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2+4-2m^2+m}{m^2+2}=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
Tới đây bạn tự làm tiếp nhé
Cho hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=4+2m\\4x+y=3m-4\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn điều kiện: xy = -5
x-y=4+2m và 4x+y=3m-4
=>5x=5m và x-y=2m+4
=>x=m và y=m-2m-4=-m-4
xy=-5
=>m(-m-4)=-5
=>m^2+4m=5
=>m^2+4m-5=0
=>(m+5)(m-1)=0
=>m=1 hoặc m=-5
Cho hệ phương trình :\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\) (m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y < 0
Lời giải:
Từ PT$(1)\Rightarrow x=m+1-my$. Thay vô PT(2):
$m(m+1-my)+y=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)+m^2+m=3m-1$
$\Leftrightarrow y(1-m^2)=-m^2+2m-1(*)$
Để hpt có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt $(*)$ cũng phải có nghiệm $y$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
Khi đó: $y=\frac{-m^2+2m-1}{1-m^2}=\frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}$
$x=m+1-my=m+1-\frac{m(m-1)}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}$
Có:
$x+y=\frac{m-1}{m+1}+\frac{3m+1}{m+1}=\frac{4m}{m+1}<0$
$\Leftrightarrow -1< m< 0$
Kết hợp với đk $m\neq \pm 1$ suy ra $-1< m< 0$ thì thỏa đề.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)(m là tham số)
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y<0