a: Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC

nên EF//BC

=>EF//MH

Xét ΔABC có BE/BA=BM/BC

nên ME//AC và ME/AC=1/2

=>ME=1/2AC=HF

Xét tứ giác MHEF có

MH//EF

ME=HF

Do đo: MHEF là hình thang cân

b: Xét ΔAMF vuông tại F và ΔCKF vuông tại F có

FA=FC

góc MAF=góc KCF

Do đó: ΔAMF=ΔCKF

=>MF=KF

=>F là trung điểm của MK

Xét tứ giác AMCK có

F là trung điểm chung của AC và MK

MA=MC

Do đó: AMCK là hình thoi

a: Ta có: ΔAHB vuông tại H 

mà HI là đường trung tuyến

nên HI=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H 

mà HK là đường trung tuyến

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có

KA=KH

IA=IH

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: \(\widehat{IHK}=90^0\)

a) Ta có: ΔAHB vuông tại H (gt)

mà HI là đường trung tuyến (gt)

nên HI=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H 

mà HK là đường trung tuyến

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có

KA=KH

IA=IH

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: ˆIHK=900

b) Bạn sẽ chứng minh mỗi cạnh của tam giác IHK bằng nửa cạnh của tam giác ABC:

có I là trung điểm AB 

=> IA=IB= 1/2 AB (1)

có K là trung điểm AC 

=> KA=KC = 1/2 AC (2) 

xét tam giác ABC => IK là đường trung bình (tự cm) 

=> IK= 1/2 BC (tính chất) (3) 

Từ (1)(2)(3) => IH + HK + IK = 1/2AB+1/2AC +1/2BC 

==> Vậy cvi của tam giác IHK bằng một nửa cvi tam giác ABC 

===== 

studie.hard.today

ΔAHB vuông tại H có HI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB

⇒ HI = IA = 1/2 AB (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ AHI cân tại I

⇒ ∠ (IAH) =  ∠ (IHA) (1)

∆ AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC

⇒ HK = KA = 1/2 AC (tính chất tam giác vuông)

⇒  ∆ KAH cân tại K ⇒ ∠ (KAH) =  ∠ (KHA) (2)

∠ (IHK) =  ∠ (IHA) +  ∠ (KHA) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  ∠ (IHK) =  ∠ (IAH) +  ∠ (KAH) =  ∠ (IAK) =  ∠ (BAC) = 90 0

\(\widehat{IHK}=\widehat{IHA}+\widehat{AHK}\)

\(=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}=90^0\)

Vì ΔABC vuông tại A

⇒ \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\) (1)

Vì AH là đường cao của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{ ΔABH vuông tại H}\\\text{ ΔACH vuông tại H}\end{matrix}\right.\)

Vì I là trung điểm của AB

⇒ HI là đường trung tuyến của ΔABH

mà ΔABH vuông tại H

⇒ HI = AI = BI = \(\dfrac{1}{2}\)AB

Vì IB = IH

⇒ ΔBIH cân tại I

⇒ \(\widehat{B}=\widehat{IHB}\) (2)

Vì K là trung điểm của AC

⇒ HK là đường trung tuyến của ΔACH

mà ΔACH vuông tại H

⇒ HK = AK = KC = \(\dfrac{1}{2}\)AC

Vì HK = KC

⇒ ΔKHC cân tại K

⇒ \(\widehat{KHC}=\widehat{C}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\widehat{IHB}+\widehat{KHC}=90^0\)

Ta có \(\widehat{IHB}+\widehat{IHK}+\widehat{KHC}=90^0\)

⇒ \(\widehat{IHK}+90^0=180^0\)

⇒ \(\widehat{IHK}=90^0\)

Vậy \(\widehat{IHK}=90^0\)

Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HI là đường trung tuyến

nên HI=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HK là đường trung tuyến

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có

KA=KH

AI=HI

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: \(\widehat{KAI}=\widehat{HAI}=90^0\)

a)xét ΔBDA và ΔBCA có:

AB là cạnh chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=90^o\)

AD=AC(gt)

\(\Rightarrow\Delta BDA=\Delta BCA\)(c-g-c)

\(\Rightarrow BD=BC\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại B(đ.p.ch/m)

vì E là trung điểm của BD

\(\Rightarrow CE\) là đường trung tuyến 

vì AD=AC \(\Rightarrow\)AB là đường trung tuyến

Do đó O là trọng tâm của ΔBCD

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}AB\)

Mà AB=a \(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\)

Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà IH là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

nên IH=AI

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HK là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

nên HK=AK

Xét ΔKAI và ΔKHI có 

KA=KH

AI=HI

KI chung

Do đó: ΔKAI=ΔKHI

Suy ra: \(\widehat{KHI}=90^0\)