\(4x+y=1\Rightarrow y=1-4x\)

\(\Rightarrow4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=20x^2-8x+1=20\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{1}{5}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

Dễ quá

Bài này có 2 cách làm mình làm cách áp dụng BĐT Bunhiacopxki

Ta có  4x + y = 1 =) ( 4x + y)²  =1

=) (4x + y)² = [ 2(2x)  + y ]² <= ( 2² +1 ) [ (2x)²  + y² )

=) ( 4x + y )² <=  5( 4x² + y² )

=) 1<= 5( 4x² + y² )

=) 1/5 <= 4x² + y²

Hay 4x² + y² >= 1/5

K CHO MÌNH NHA

\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)

\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)

BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$

4x + y = 1 => y = 1 - 4x
Nên : 4x^2 + y^2 = 4x^2 + (1 - 4x)^2
= 4x^2 + 1 - 8x + 16x^2
= 20x^2 - 8x + 1
= 4(5x^2 - 2x) + 1
= 4/5(25x^2 - 10x) + 1
= 4/5(25x^2 - 2.5x + 1) + 1/5
= 4/5(5x - 1)^2 + 1/5
>= 1/5
Dấu "=" xảy ra khi x = 1/5 => y = 1/5

Có 4x² + y² = (2x)² + y²

=> (4x² + y²)(2² + 1²) =( (2x)² + y²) (2² + 1²)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki

=>( (2x)² + y²) (2² + 1²) >= (4x + y)² = 1     

=> (4x² + y²)*5 >= 1

=> 4x² + y² >= 1/5

>= là lớn hơn hoặc bằng

Ta có : 4x + y = 1 => y = 1 - 4x

=> 4x^2 + y^2 = 4x^2 + ( 1 - 4x )^2 = 20x^2 - 8x + 1 = 4 ( 5x^2 - 2x ) + 1 = 4/5 ( 25x^2 - 10x + 1 ) + 1/5 = 4/5 ( 5x-1 )^2 +1/5

Ta có : ( 5x-1)^2 >= 0 

=> 4/5 ( 5x-1)^2 +1/5 >= 0 + 1/5 = 1/5

Vậy 4x^2 + y^2 >= 1/5. Dấu "=" xảy ra <=> x= 1/5

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(2x\right)^2+y^2\right].\left(2^2+1\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2\ge\frac{1}{5}\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{2x}{2}=y\Leftrightarrow x=y=0,2\)

\(A=\left(x-2+\frac{1}{x}\right)+2y-3=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+2y-3\ge-3\)

\(\left(1\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0\) mọi x>0

\(\left(2\right)2y\ge0\) với mọi y>0

\(\left(3\right)-3\ge-3\) với x,y

(1)+(2)+(3)=> dpcm

Hiểu thì  làm tiếp