cho pt: mx^2 + x + m -1 = 0
tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 t/m: \(\left|\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right|>1\)
Cho pt: \(mx^2-\left(2m+1\right)x+m+3=0\)
a) tìm m để pt trên có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0
b) giả sử \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của pt trên. tìm m để:
\(\dfrac{mx_1^2+\left(2m+1\right)x_2+m+3}{m}+\dfrac{m}{mx_2^2+\left(2m+1\right)x_1+m+3}=2\)
a: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+3\right)\)
\(=4m^2+4m+1-4m^2-12m\)
\(=-8m+1\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
\(\Leftrightarrow-8m+1>0\)
\(\Leftrightarrow-8m>-1\)
hay \(m< \dfrac{1}{8}\)
Cho pt ẩn x : x2 - 5x + m - 2 = 0 (1)
a) Giải pt (1) khi m = -4
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thoả mãn hệ thức:
\(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\)
a: Khi m = -4 thì:
\(x^2-5x+\left(-4\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-6=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-5\cdot1\cdot\left(-6\right)=49\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7>0\)
Pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{5+7}{2}=6;x_2=\dfrac{5-7}{2}=-1\)
b: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)
Theo viet:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\)
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\)
Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}33-4m>0\\5>0\left(TM\right)\\m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{33}{4}\\x>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2< m< \dfrac{33}{4}\)
Vậy \(2< m< \dfrac{33}{4}\) thì pt có 2 nghiệm dương phân biệt.
Theo đầu bài: \(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x_1x_2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1+2\sqrt{x_1x_2}+x_2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow5+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)-2\sqrt{m-2}-5=0\)
Đặt \(\sqrt{m-2}=t\Rightarrow m-2=t^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2t-5=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2+\left(-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(9t+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-2=0\\9t+10=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(TM\right)\\t=-\dfrac{10}{9}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)
Trả ẩn:
\(\sqrt{m-2}=2\)
\(\Rightarrow m-2=4\)
\(\Rightarrow m=6\)
Vậy m = 6 thì x1 , x2 thoả mãn hệ thức \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Cho PT: \(x^2-mx-2=0\). Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:
\(x_1^2.x_2+x_1x^2_2+7>x_2^1+x_2^2+\left(x_1+x_2\right)^2\)
Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-2\right)=-2< 0\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2\end{matrix}\right.\)
Sửa đề: \(x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2+7>x_1^2+x_2^2+\left(x_1+x_2\right)^2\)
=>\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+7>\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)^2\)
=>\(-2m+7>m^2-2\left(-2\right)+m^2\)
=>\(2m^2+4< -2m+7\)
=>\(2m^2+2m-3< 0\)
=>\(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}\)
Cho PT: \(x^2-\left(3m-1\right)x+2m^2-m=0\). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: \(x_1=x_2^2\)
cho pt: x2 - (m - 1)x- m2+m - 2=0
Gọi x1, x2 là nghiệm của pt. Tìm m để \(B=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3\) đạt gtln
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(-m^2+m-2\right)\)
\(=5m^2-6m+9=5\left(m-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{36}{5}>0;\forall m\)
Mặt khác \(-m^2+m-2\ne0;\forall m\Rightarrow\) biểu thức đề bài luôn xác định
\(B=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-6\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)
Xét \(A=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{\left(m-1\right)^2-2\left(-m^2+m-2\right)}{-m^2+m-2}=\frac{3m^2-4m+5}{-m^2+m-2}\)
\(\Rightarrow-Am^2+Am-2A=3m^2-4m+5\)
\(\Leftrightarrow\left(A+3\right)m^2-\left(A+4\right)m+2A+5=0\)
\(\Delta=\left(A+4\right)^2-4\left(A+3\right)\left(2A+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow7A^2+36A+44\le0\Rightarrow-\frac{22}{7}\le A\le-2\)
Thay vào B:
\(B=A^3-6A\) với \(-\frac{22}{7}\le A\le-2\)
\(B=A^2\left(A+2\right)-2\left(A+1\right)\left(A+2\right)+4\)
Do \(A\le-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A+2\le0\\\left(A+1\right)\left(A+2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\le4\)
\(\Rightarrow B_{max}=4\) khi \(A=-2\) hay \(m=1\)
Cho pt: \(x^2-x+m\)=0 (1)
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(\left(x^2_1+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)\)= \(m^2-m-1\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
tìm m để pt x\(^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2=0\) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1x_2+2=3x_1+x_2\)
cho pt: \(x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-1=0\) (1)
a) tìm điều kiện của m để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
b) tìm m để 2 ngiệm \(x_1\), \(x_2\) của pt (1) t/m: \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
giúp mk vs mk cần gấp
a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=5-4m>0\)
\(\Rightarrow m< \dfrac{5}{4}\)
b. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=5-4m\)
Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=5-4m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\4x_2=6m-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_2=\dfrac{3m-3}{2}\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=m^2-1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{m+1}{2}\right)\left(\dfrac{3m-3}{2}\right)=m^2-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Rightarrow m=\pm1\) (thỏa mãn)
\(x^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0\)
c/m pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và \(C=x_1\left(1-x_2\right)+x_2\left(1-x_1\right)\)ko phụ thuộc vào m
\(\text{Δ}=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m+16\)
\(=4m^2+4m+20=\left(2m+1\right)^2+16>0\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt