a) Do AM là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ ∠BAM = ∠CAM

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (gt)

∠BAM = ∠CAM (cmt)

AM là cạnh chung

⇒ ∆ABM = ∆ACM (c-g-c)

b) Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ BM = CM (hai cạnh tương ứng)

⇒ M là trung điểm của BC

Do ∆ABM = ∆ACM (cmt)

⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AMB = ∠AMC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AM ⊥ BC

c) Do ∠BAM = ∠CAM (cmt)

⇒ ∠EAM = ∠FAM

Xét hai tam giác vuông: ∆AME và ∆AMF có:

AM là cạnh chung

∠EAM = ∠FAM (cmt)

⇒ ∆AME = ∆AMF (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ ME = MF (hai cạnh tương ứng)

a,
Xét tam giác ABC có:
+ AB = AC (giả thuyết)
+ Góc CAM = MAB (AM là phân giác góc BAC)
+ AM chung
⇒ 2 tam giác bằng nhau (cgc) (đpcm)

b,
Ta có:
+ Tam giác AMC = Tam giác ABM (theo câu a)
⇒ CM = MB (2 cạnh tương ứng) (1)
⇒ M là trung điểm BC (đpcm)
+ Mà AM là tia phân giác góc CAB (2)
+ Góc AMC = Góc AMB (3)
Từ (1), (2), (3).
⇒ AM ⊥ BC (t/c) (đpcm)

c,
Ta có:
Tam giác ACM = Tam giác ABM (theo câu A)
⇒ Góc ACM = Góc ABM (2 góc tương ứng)
Ta có:
+ ME ⊥ AB (giả thuyết)
⇒ Tam giác MEB vuông tại E
+ MF ⊥ AC (giả thuyết)
⇒ Tam giác CFM vuông tại F
Xét tam giác CFM vuông tại F và tam giác MEB vuông tại E có:
+ Góc ACM bằng góc ABM (chứng minh trên)
+ MC = MB (theo câu b)
⇒ Hai tam giác CFM = MEB (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ ME = MF (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Cho △ABC có AB = AC, AM là phân giác của ∠BAC (M ∈ BC):

a, Chứng minh △ABM = △ACM.

b, Chứng minh M là trung điểm của BC và AM ⊥ BC.

c, Kẻ MF ⊥ AB (F ∈ AB) và ME ⊥ AC (E ∈ AC). Chứng minh EF // BC.

Giải:

a,

- Xét 2 △ABM và △ACM, có:

     AB = AC (theo giả thiết)

     ∠CAM = ∠BAM (AM là phân giác của ∠BAC)

     AM_cạnh chung

=> △ABM = △ACM (c.g.c)

b,

- Có △ABM = △ACM (chứng minh trên)

=> MC = MB (2 cạnh tương ứng)

=> M là trung điểm của BC

=> ∠AMC = ∠AMB (2 góc tương ứng)

     mà 2 ∠AMC và ∠AMB kề bù

=> ∠AMC = ∠AMB = \(\dfrac{180^o}{2}\) = 90^o

<=> AM ⊥ BC

c,

- Xét 2 △AEM và △AFM, có:

     ∠AEM = ∠AFM = 90^o

     AM_cạnh chung

     ∠EAM = ∠FAM (AM là phân giác của ∠EAF)

=> △AEM = △AFM (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AE = AF (2 cạnh tương ứng)

<=> △AEF cân tại A 

=> ∠AEF = \(\dfrac{180^o-\text{∠}EAF}{2}\) (số đo của một góc ở đáy trong △AEF cân tại A) (1)

Có △ABC cân tại A (AB = AC)

=> ∠ACB = \(\dfrac{180^o-\text{∠}BAC}{2}\) (số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠AEF = ∠ACB

     mà ∠AEF và ∠ACB ở vị trí đồng vị

=> EF//BC

a, Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)

\(\Rightarrow AB=AC;\widehat{B}=\widehat{C}\)

Xét \(\Delta ABM;\Delta ACM\) có

\(AB=AC\left(cmt\right)\\ \widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\\ MB=MC\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-g-c\right)\)

b, \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\)

Xét \(\Delta AHM;\Delta AKM\) có

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\left(cmt\right)\\ \widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^o\)

\(AM\) chung

\(\Rightarrow\Delta AHM=\Delta AKM\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow HM=KM\)

mình chỉ giúp ý d theo mong muốn của bạn thôi :)

Có : AH = AK ( cái này bạn chứng minh ở câu  trên chưa mình không biết; nếu chưa thì bạn chứng minh đi nhé )

=> A thuộc đường trung trực của HK

và MH=MK

=> M thuộc đường trung trực của HK

=> AM là đường trung tực của HK

=> AM ⊥ HK

Xét Δ ABM và Δ ACM có:

AB = AC (gt)

AM là cạnh chung

Góc BAM = góc CAM (AM là tia phân giác góc BAC)

⇒ Δ ABM = Δ ACM (c_g_c)

a: Xét ΔABM vuông tại A và ΔHBM vuông tại H có 

BM chung

\(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\)

Do đó: ΔABM=ΔHBM

b: Ta có: ΔABM=ΔHBM

nên AM=HM

mà HM<CM

nên AM<CM

c:

Ta có: ΔBAM=ΔBHM

nên BA=BH

Xét ΔAME vuông tại A và ΔHMC vuông tại H có

MA=MH

\(\widehat{AME}=\widehat{HMC}\)

Do đó: ΔAME=ΔHMC

Suy ra: ME=MC và AE=HC

Ta có: BA+AE=BE

BH+HC=BC

mà BA=BH

và AE=HC

nên BE=BC

Ta có: BE=BC

nên B nằm trên đường trung trực của EC\(\left(1\right)\)

Ta có: ME=MC

nên M nằm trên đường trung trực của EC\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra BM là đường trung trực của EC

hay BM\(\perp\)EC

a)  Xét △ ABM và △ HBM có: 

     \(\widehat{BAM}=\widehat{BHM}=90^0\) 

            BM chung

 \(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\) ( BM phân giác của \(\widehat{B}\) )

⇒ △ ABM = △ HBM ( ch - gn )

b) Vì △ ABM = △ HBM ( cmt )

⇒ AM = HM ( 2 cạnh tương ứng )

△ AME = ▲ CMH ( g - c - g )

⇒ AM = CM ( 2 cạnh tương ứng )

c)  Gọi N là giao điểm của BM và CE

Cm △ EBN = △ CBN ( c - g - c )   ( tự chứng minh nha, mik mệt quá )

⇒ \(\widehat{ENB}=\widehat{CNB}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{ENB}=\widehat{CNB}=180^0\) ( kề bù )

⇒ BN ⊥ CE

⇒ BM ⊥ CE ( M ∈ BN )