Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua B và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

Vậy phương trình \(\Delta \) là: \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}x + by + \left( {a - 2b} \right) = 0\)

Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {C,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {4a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 2b = 4a - 3b\\3a + 2b =  - 4a + 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5b\left( 1 \right)\\7a = b\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {5;1} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(5x + y + 3 = 0\)

Từ (2) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {1;7} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(x + 7y - 13 = 0\)

\(a,\) Gọi đt cần tìm là \(y=ax+b\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+b=-5\\a=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=-2x+3\)

\(b,\) Gọi đt cần tìm là \(y=ax+b\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+b=-1\\b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{4}\\b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{4}x+1\)

\(c,\) Gọi đt đi qua M và N là \(y=ax+b\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=-3\\-6a+b=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}x-2\)

Thay \(x=1;y=1\Leftrightarrow1=\dfrac{1}{2}\cdot1-2\Leftrightarrow1=-\dfrac{1}{2}\left(\text{vô lí}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\notinđths\)

Vậy 3 điểm này ko thẳng hàng

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 3\sqrt 2 \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {{n_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng a là:

\(1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).Từ đó suy ra \(\overrightarrow {{n_b}}  = \left( {1; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng b là:

\(1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)

Phương trình đường thẳng có dạng \(\left(d\right):y=ax+b\)

a) \(A\left(0;-3\right)\cap B\left(1;-1\right)\in\left(d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.0+b=-3\\a.1+b=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-3\\a=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(d\right):y=2x-3\)

b) \(A\left(1;5\right)\cap B\left(-1;4\right)\in\left(d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.1+b=5\\a.\left(-1\right)+b=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\-a+b=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=9\\a+b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{9}{2}\\a=5-\dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(d\right):y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2}\)

Gọi (d): y = ax + b là phương trình đường thẳng cần viết

a) Do (d) đi qua A(0; -3)

⇒ b = -3

⇒ (d): y = ax - 3

Do (d) đi qua (1; -1)

⇒ a.1 - 3 = -1

⇔ a = -1 + 3

⇔ a = 2

⇒ (d): y = 2x - 3

b) Do (d) di qua A(1; 5)

⇒ a.1 + b = 5

⇔ a + b = 5

⇔ a = 5 - b (1)

Do (d) đi qua B(-1; 4)

⇒ a.(-1) + b = 4

⇔ b - a = 4 (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

b - (5 - b) = 4

⇔ b - 5 + b = 4

⇔ 2b = 4 + 5

⇔ 2b = 9

⇔ b = 9/2

Thay b = 9/2 vào (1) ta có:

a = 5 - 9/2

⇔ a = 1/2

Vậy (d): y = x/2 + 9/2

Gọi d: y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=1\\-a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=-3\\b-a=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=3\end{matrix}\right.\).

Do đó đường thẳng đi qua A, B là y = -x + 3.

Thay x = 3 vào ta được y = 0 nên C(3; 0) thuộc đường thẳng đó