Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).
Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H
và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Chứng minh:
a. Các tứ giác ADHE, BEDC nội tiếp
b. DE/MN
c. OA.LDE
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. DE cắt BC tại F. Gọi K là giao điểm của AF với (O),N là giao điểm của KH
a) Chứng minh tứ giá BEDC nội tiếp. Xác định tâm M của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC
b ) Chứng minh góc FKE= góc FDA
c ) Chứng minh AN là đường kính của đường tròn tâm O từ đó suy ra FH vuông góc với AM
Cho tam giác abc có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (o). Hai đường cao Bd và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: Các tứ giác ADHE, BEDC nội tiếp. b) Chứng minh: Góc EAH = Góc ECB c) Từ A kẻ tiếp tuyến xy với đường tròn. Chứng minh: xy//DE
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong (O;R) có BD và CE là các đường cao. Cho góc A = 60 độ, tính theo R diện tích tứ giác OEAD
Có thể giải như sau:
Tam giác vuông ABD có ^BAD = 60o => AD = AB/2
Dễ thấy tg vuông ABD đồng dạng với tg vuông ACE => AD/AE = AB/AC => AD/AB = AE/AC => tg AED đông dạng tam giác ABC ( vì có chung góc A) => ED/BC = ADAB = 1/2 => ED = BC/2
Dễ tính được BC = RV3 => ED = RV3/2
Mặt khác : Vẽ đường kính AF => BF//CE (vì cùng _I_ với AB). Dễ thấy BCDE nội tiếp => ^BDE = ^BCE (cùng chắn cung BE) = ^CBF ( so le trong) = ^CAF (cùng chắn cung CF của (O) ) => AF _I_ DE ( vì đã có AD _I_ BD)
Vậy S(OEAD) = AO.ED/2 = R^2V3/4 => R = V(4SV3/3)
p/s:tham khảo
Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). BD , CE cắt nhau tại H. Đường thẳng BD cắt ( O ) tại M. đường thẳng CE cắt ( O ) tại N.a) Chứng minh AE.AB = AD.AC b ) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp . c ) Chứng minh MN // DE . c ) Chứng minh OA vuông góc ED
b) Xét tứ giác BEDC có
\(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H (D thuộc AC. E thuộc AB) 1. CM các tứ giác ADHE và BCDE nội tiếp được trong một đường tròn 2. Tia BD và tia CE lần lượt cắt đường tròn O tại M và N. Cm DE song song MN 3. Kẻ đường kính AK. Cm tứ giác BKCM là hình thang cân
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R). Hai đường cao CE, BD lần lượt cắt đường tròn lần lượt tại E’, D’. Gọi H là trực tâm của tam ABC.
a/ Chứng minh: tứ giác AEHD, BEDC nội tiếp được
b/ Chứng minh: ED//E’D’ và OA vuông góc với ED
c/ Kẻ đường kính AA’. Gọi I là trung điểm của BC. C/m: Tứ giác HCA’B là hình bình hành, từ đó suy ra H, I, A’ thẳng hàng.
d/ Cho BC cố định, khi điểm A chuyển động trên cung lớn BC thì điểm H chuyển động trên đường nào.
a: Xét tứ giác AEHD có
\(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)
=>AEHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{D'E'C}\) là góc nội tiếp chắn cung D'C
\(\widehat{D'BC}\) là góc nội tiếp chắn cung D'C
Do đó: \(\widehat{D'E'C}=\widehat{D'BC}\left(1\right)\)
Ta có: BEDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{DEC}=\widehat{DBC}\)
=>\(\widehat{HED}=\widehat{D'BC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HE'D'}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên DE//D'E'
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O')
=>Ax\(\perp\)OA tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB
\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
Do đó: \(\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\left(=180^0-\widehat{BED}\right)\)
nên \(\widehat{xAB}=\widehat{AED}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//ED
Ta có: Ax//ED
OA\(\perp\)Ax
Do đó: OA\(\perp\)ED
c: Xét (O) có
ΔABA' nội tiếp
A'A là đường kính
Do đó: ΔABA' vuông tại B
=>AB\(\perp\)BA'
Xét (O) có
ΔACA' nội tiếp
A'A là đường kính
Do đó: ΔACA' vuông tại C
=>AC\(\perp\)CA'
Ta có: AC\(\perp\)CA'
BH\(\perp\)AC
Do đó: BH//A'C
Ta có: AB\(\perp\)BA'
CH\(\perp\)AB
Do đó: CH//BA'
Xét tứ giác BHCA' có
BH//CA'
BA'//CH
Do đó: BHCA' là hình bình hành
=>BC cắt HA' tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HA'
=>H,I,A' thẳng hàng
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O . Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H, đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P , đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng:
1) BEDC là tứ giác nội tiếp,
b) HQ.HC = HP.HB
3) DE // PQ
A B C D E H D E Cho tam giác ABC nội tiếp O .BD, CE là 2 đường cao. BD cắt CE tại H và cắt O tại lần lượt D ,E .Chứng minh a BEDC nội tiếpb DE D E c OA vuông góc DEd BC cố định. Chứng minh khi A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì bán kính đtròn ngoại tiếp tam giác ADE ko đổi.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn o . Các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại D. CM/ tứ giác ADCE và BCDE nội tieps đường tròn b.TIa BD và CE lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Cm DE//MN c. ké đườn kính Ak. m tứ giác BKCM là hình thang cân
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O các đường cao AM , BN cho tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại D và E Chứng minh A, tứ giác MHNC nội tiếp đường tròn B, CD = CE C, CB là tia phân giác của góc HCD
a: góc HMC+góc HNC=180 độ
=>HMCN nội tiếp
b: góc CED=góc CAD
góc CDE=góc CAE
mà góc CAD=góc CAE(=góc CBD)
nên góc CED=góc CDE
=>CD=CE
