Bài 1:

Gọi M là trung điểm của BC

Vẽ BE là tia phân giác của góc B, E  thuộc AC

nối M với E

ta có: BM =CM  = 1/2.BC ( tính chất trung điểm)

AB=1/2.BC (gt)

=> BM = CM=  AB ( =1/2.BC)

Xét tam giác ABE và tam giác MBE

có: AB = MB (chứng minh trên)

góc ABE = góc MBE (gt)

BE là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta MBE\left(c-g-c\right)\)

=> góc BAE = góc BME = 90 độ ( 2 cạnh tương ứng)

=> góc BME = 90 độ

\(\Rightarrow BC\perp AM⋮M\)

Xét tam giác BEM vuông tại M và tam giác CEM vuông tại M

có: BM=CM(gt)

EM là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BEM=\Delta CEM\left(cgv-cgv\right)\)

=> góc EBM = góc ECM ( 2 cạnh tương ứng)

mà góc EBM = góc ABE = 1/2. góc B (gt)

=> góc EBM = góc ABE = góc ECM

Xét tam giác ABC vuông tại A
có: \(\widehat{B}+\widehat{ECM}=90^0\) ( 2 góc phụ nhau)

=> góc EBM + góc ABE + góc ECM = 90 độ

=> góc ECM + góc ECM + góc ECM = 90 độ

=> 3.góc ECM = 90 độ

góc ECM = 90 độ : 3

góc ECM = 30 độ

=> góc C = 30 độ

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(2,2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-5,-1\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-3,1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\\BC=\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(-1\right)^1}=\sqrt{26}\\AC=\sqrt{\left(-3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

\(p=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{26}+\sqrt{10}}{2}\)

Áp dụng công thức Herong:

\(S=\sqrt{p.\left(p-2\sqrt{2}\right)\left(p-\sqrt{26}\right)\left(p-\sqrt{10}\right)}=\sqrt{16}=4\)

a)Vì M là trung điểm BC (gt)

=> MB = MC

Xét △AMB và △AMC có

AB=AC (gt)

AM : cạnh chung

MB=MC (cmt)

=> △AMB = △AMC (c.c.c)

b) Vì △ABC cân tại A (AB=AC) có AM là trung tuyến

=> AM là đường cao 

=> AM ⊥ BC

Câu 3: 

Xét ΔAMN và ΔABC có

AM/AB=AN/AC

\(\widehat{A}\) chung

DO đó:  ΔAMN\(\sim\)ΔABC

1.

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{BC}=\dfrac{\left(b+c\right)\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{BC}}{b+c}=\dfrac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}\)

\(\Rightarrow AD^2=\dfrac{\left(b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}\right)^2}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{2b^2c^2+2b^2c^2.cosA}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{2b^2c^2\left(1+cos\alpha\right)}{\left(b+c\right)^2}\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{bc\sqrt{2+2cos\alpha}}{b+c}\)

2.

\(MA^2+MB^2+MC^2=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)

\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)

\(=3MG^2+\dfrac{4}{9}\left(AM^2+MB^2+MC^2\right)\)

\(=3MG^2+\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\right)\)

\(=3MG^2+\dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=3MG^2+\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

3.

Hình vẽ:

Đặt các vecto đơn vị \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) cùng hướng \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\)

Khi đó \(\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)^2=3-2\left(cosA+cosB+cosC\right)=3-2P\)

\(\Rightarrow3-2P=\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)^2\ge0\Rightarrow P\le\dfrac{3}{2}\)

\(maxP=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều

BM: 2x-y+1=0

=>M(x;2x+1)

CN: x+y-4=0

=>C(-y+4;y)

Theo đề, ta có: -y+4+(-2)=2x và y+3=2(2x+1)

=>4x+2-y-3=0 và 2x+y-2=0

=>4x-y-1=0 và 2x+y-2=0

=>x=1/2 và y=1

=>M(1/2;2); C(3;1)

Tọa độ G là:

2x-y+1=0 và x+y-4=0

=>x=1 và y=3

G(1;3); B(x;y); M(1/2;2)

Theo đè, ta có; vecto BG=2/3vecto BM

=>1-x=2/3x và 3-y=2/3(2-y)

=>1-5/3x=0 và 3-y-4/3+2/3y=0

=>x=3/5 và y=5

=>B(3/5;5); A(-2;3); C(3;1)

vecto BA=(-2,6;-2)

=>VTPT là (2;2,6)=(10;13)

Phương trình BA là:

10(x+2)+13(y-3)=0

=>10x+20+13y-39=0

=>10x+13y-19=0

vecto AC=(5;-2)

=>VTPT là (2;5)

Phương trình AC là:

2(x-3)+5(y-1)=0

=>2x-6+5y-5=0

=>2x+5y-11=0

vecto BC=(2,4;-4)

=>VTPT là (5;3)

Phương trình BC là

5(x-3)+3(y-1)=0

=>5x-15+3y-3=0

=>5x+3y-18=0

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABC)

\(AB=AC\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\Rightarrow\widehat{SBA}\approx50^046'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow SC\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC)

\(\Rightarrow\widehat{BSC}\) là góc giữa SB và (SAC)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(BC=AC=a\)

\(sin\widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow\widehat{BSC}\approx26^034'\)

b.

Theo cmt, \(BC\perp\left(SAC\right)\)

Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\\SA\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SAC) và (ABC) là 90 độ

lkjytreedfyhgfdfgff

lkjhgfgy6tyur65445676t 7 777676r64576556756777777777777/.,mnbvfggjhyjuhjtyj324345

o7uujghhjhjhjjt6yi89-ơ-0