\(3x^2+2y^2+2z^2+2xy=3 \)
\(S=x+y+z\)
MIn, Max S
cho 3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2018. tim min, max cua S=x+y+z
Cho \(3x^2+2y^2+2z^2+2yz=3..\) Tìm min,max A = x+y+z
Ta có: \(\left(x^2+y^2+2xy+2yz+2xz\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Do đó \(-\sqrt{3}\le x+y+z\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-\sqrt{3}\le A\le\sqrt{3}\)
=> \(\hept{\begin{cases}Min_A=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{3}}{3}\\Max_A=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}}\)
Bài 1: cho x,y là các số thực thõa mãn \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+3}-x^3.\)
tìm MIN của \(B=x^2-2y^2+2xy+2y+10\)
Bài 2: cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
tìm MAX và MIN của \(P=x+y+2z\)
Bài 1:
ĐK: \(x,y\ge-2\)
Ta có: \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\frac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)
=> x-y=0=>x=y
Thay y=x vào B ta được: B=x2+2x+10\(=\left(x+1\right)^2+9\ge9\forall x\ge-2\)
Dấu '=' xảy ra <=> x+1=0=>x=-1 (tmđk)
Vậy Min B =9 khi x=y=-1
cho x^2+y^2+z^2=3 a cmr x^2y+y^2z+z^2x=<2+xyz b tim max min x/y+2+y/z+2+z/x+2
tìm max,min của p = x + y + 3 bt x^2 - 3x - 3y + 2xy + 2y^2 - 4 = 0
\(x^2-3x-3y+2xy+2y^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2-9\left(x+y+3\right)+y^2+14=0\)
\(\Leftrightarrow P^2-9P+y^2+14=0\)
Ta có: \(0=P^2-9P+y^2+14\ge P^2-9P+14=\left(P-7\right)\left(P-2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\le P\le7\)
Vậy...
P/s: Về cơ bản hướng làm là thế, nhưng khi tính toán + biến đổi có thể sai, bạn tự check lại.
Dòng kế cuối là:\(\Rightarrow2\le P\le7\) nha!
Cho \(0< x< y\le z\le1\) và \(3x+2y+z\le4\). Tìm Max \(S=3x^2+2y^2+z^2\)
\(S=x\left(3x+2y+z\right)+\left(y-x\right)\left(2y+z\right)+\left(z-y\right).y\)
\(S\le4x+3\left(y-x\right)+z-y=x+2y+z\)
\(S\le\dfrac{1}{3}\left(3x+2y+z\right)+\dfrac{2}{3}\left(2y+z\right)\le\dfrac{1}{3}.4+\dfrac{2}{3}.3=\dfrac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};1;1\right)\)
Tìm x,y,z biết: a) x^2+y^2-4x+4y+8=0 b) 5x^2-4xy+y^2=0 c) x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0 d) 3x^2+3y^2+3xy-3x+3y+3=0 e) 2x^2+y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-2z-2z-2x+2=0
a) x2+y2-4x+4y+8=0
⇔ (x-2)2+(y+2)2=0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-2\end{matrix}\right.\)
b)5x2-4xy+y2=0
⇔ x2+(2x-y)2=0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\2x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
c)x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0
⇔ (x-y)2+(y-1)2+(z-2)2=0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-1=0\\z-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)
b: Ta có: \(5x^2-4xy+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\dfrac{4}{5}xy+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{2}{5}y+\dfrac{4}{25}y^2+\dfrac{21}{25}y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{2}{5}y\right)^2+\dfrac{21}{25}y^2=0\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
d)3x2+3y2+3xy-3x+3y+3=0
⇔ 6x2+6y2+6xy-6x+6y+6=0
⇔ 3(x+y)2+3(x-1)2+3(y+1)2=0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Với x,y là các số thực, ta có : x2 + 6( x + y ) + 2xy + 2y2 + 6 = 0
Tìm Min, Max S= x + y
Cho x,y thỏa mãn \(x^2+2xy+7\left(x+y\right)+2y^2+10=0\)
Tìm min max của S= x + y + 1
pt \(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+\frac{49}{4}=-y^2+\frac{49}{4}-10\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2=-y^2+\frac{9}{4}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{-3}{2}\le x+y+\frac{7}{2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(-4\le x+y+1\le-1\)
Dấu "=" tự xét nhé