Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC=BD .Gọi M,N,P,Q là trung điẻm của AB, BC,CD,AD.
A, chứng minh \(MP\perp NQ\)
B,dựng các tam giác vuông cân ADE,BCF
CMR: \(MN\perp EF\)
C,Dựng ngoài các tam giác cân ABX,BCY,CDZ,DAT
CMR:\(XZ\perp YT\)
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC=BD .Gọi M,N,P,Q là trung điẻm của AB, BC,CD,AD. A, chứng minh M P ⊥ N Q B,dựng các tam giác vuông cân ADE,BCF CMR: M N ⊥ E F C,Dựng ngoài các tam giác cân ABX,BCY,CDZ,DAT CMR: X Z ⊥ Y T
a) Xét ΔABD có
M là trung điểm của AB(gt)
Q là trung điểm của AD(gt)
Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔCBD có
N là trung điểm của BC(gt)
P là trung điểm của CD(gt)
Do đó: NP là đường trung bình của ΔCBD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà AC=BD(gt)
và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(cmt)
nên MN=NP
Xét tứ giác MQPN có
MQ//NP(cmt)
MQ=NP(cmt)
Do đó: MQPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành MQPN có MN=NP(cmt)
nên MQPN là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Ta có: MQPN là hình thoi(cmt)
nên MP\(\perp\)QN(Hai đường chéo của hình thoi MQPN)
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC=BD .Gọi M,N,P,Q là trung điẻm của AB, BC,CD,AD.
A, chứng minh \(MP\perp NQ\)
B,dựng các tam giác vuông cân ADE,BCF
CMR: \(MN\perp EF\)
C,Dựng ngoài các tam giác cân ABX,BCY,CDZ,DAT
CMR:\(XZ\perp YT\)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác, ta dựng các tam giác bằng nhau ADE, BCF. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CD, EF. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Cho tứ giác ABCD. Dựng ra ngoài tứ giác các tam giác ABM, BCN, CDP, DAQ lần lượt vuông cân tại M,N,P,Q. Chứng minh rằng
MP\(\perp\)NQ và MP=NQ
Bài 4. Cho tam giác ABC với trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh rằng tam giác MON đồng dạng AHB. Từ đó chứng minh H, G, O thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài các tam giác ABF và ACE lần lượt vuông tại B, C và đồng dạng với nhau. BE giao CF tại K. Chứng minh rằng AK ⊥ BC.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I thỏa mãn tam giác AID đòng dạng tam giác BIC. Kẻ IH ⊥ AD, IK ⊥ BC. M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Chứng minh rằng MN ⊥ HK.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác AOD, BOC. Chứng minh rằng MN ⊥ HK.
Bài 8. Cho tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF . M thuộc tia DF , N thuộc tia DE sao cho ∠M AN = ∠BAC. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp góc D của tam giác DMN .
Bài 9. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = BD. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác cân đồng dạng AMB và CND (cân tại M, N ). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng M N vuông góc với PQ.
Bài 10. Cho tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF . Trên AB, AC lấy các điểm K, L sao cho ∠FDK = ∠EDL = 90◦. Gọi M là trung điểm KL. Chứng minh rằng AM ⊥ EF .
Mong các bạn giúp đỡ mình. Giúp được bài nào thì giúp nhé.
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC = BD. Gọi M,N là trung điểm của AB,BC. Dựng ra phía ngoài các tam giác vuông cân ADE,BCF (tại đỉnh E và F). Chứng minh \(EF\perp MN\).
[Đề 2016-2017, bài 4, trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam]
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. Về phía ngoài của tứ giác dựng các tam giác cân đồng dạng AMB và CND (cân tại M, N tương ứng). Gọi P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác PEQF là hình thoi;
b) PQ và MN vuông góc với nhau.
Giup mik voi! Mik can gap! Cam on mn
a) Dễ thấy PE là đường trung bình của \(\Delta ABD\)\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}BD\)
Tương tự : \(QE=\frac{1}{2}AC;QF=\frac{1}{2}BD;PF=\frac{1}{2}AC\)
Theo bài toán, BD = AC nên \(PE=EQ=QF=PF\)
Suy ra PEQF là hình thoi
b) Gọi K là trung điểm của BD . Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì PEQF là hình thoi nên \(EF\perp PQ\)( * )
Xét \(\Delta KQP\)và \(\Delta SFE\)có :
\(ME\perp AB\) ; \(PK//AB\)\(\Rightarrow ME\perp PK\)
Tương tự : \(NF\perp QK\)
\(\Rightarrow\Delta KQP\approx\Delta SFE\)( góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{KP}{KQ}=\frac{AB}{CD}\)( 1 )
Vì \(\Delta MAB\approx\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đồng dạng bằng tỉ số đường cao ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\frac{SE}{SF}=\frac{ME}{NF}\Rightarrow EF//MN\)( ** )
Từ ( * ) và ( ** ) suy ra : \(PQ\perp MN\)
Gọi E và F là trung điểm của AB và DC tương ứng.
Ta cm 2 vấn đề sau:
1) EF vuông góc với PQ
2) EF // MN
Sơ lược hướng đi là như vậy nha, mai chị sẽ đăng bài cụ thể nhé
Hình vẽ thì bạn tự dựng nha.
Gọi E,F là trung điểm của AB,CD tương ứng
Lần lượt cm các điều sau:
Tương tự:
Cộng theo vế (1) và (2) suy ra
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài dựng 2 tam giác ADE và BCF bằng nhau. Chứng minh trung điểm AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại O. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ có các cạnh bằng nhau.
b) MP cắt AC và BD tại E và F. Chứng minh rằng tam giác OEF cân
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của BC
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(1)
Xét ΔADC có
Q là trung điểm của AD
P là trung điểm của CD
Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC
Suy ra: QP//AC và \(QP=\dfrac{AC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN//QP và MN=QP
Xét tứ giác MNPQ có
MN//QP(cmt)
MN=QP(cmt)
Do đó: MNPQ là hình bình hành
Xét ΔABD có
Q là trung điểm của AD
M là trung điểm của AB
Do đó: QM là đường trung bình của ΔABD
Suy ra: QM//DB và \(QM=\dfrac{DB}{2}\)
hay \(QM=\dfrac{AC}{2}\)(3)
Từ (2) và (3) suy ra QM=QP
Hình bình hành MNPQ có QM=QP(cmt)
nên MNPQ là hình thoi