Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa cua các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh:
a, Tam giác BNI cân
b, AE.BN = EB.AN
c, EI song song BC
d, A N B N = A B B D
a, HS tự chứng minh
b, M chính giữa A B ⏜
=> NE là phân giác B N A ^
=> B N A N = E B E A (tính chất đường phân giác) => BN.AE = NA.BE
c, HS tự chứng minh
d, Chứng minh ∆ABN:∆DBN => ĐPCM
Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:
a) Tam giác BNI cân;
b) AE.BN = EB.AN;
c) EI // BC;
d) $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}$.
a) ta có :
P là điểm chính giữa cung AC
=> cung AP = cung PC
N là điểm chính giữa cung BC
=> cung NB = NC
Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )
góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP )
mà cung PC = cung AP
cung BN = cung CN
=> IBN = BIN
=> tam giác IBN là tam giác cân
b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC
=>MN là tia phân giác của góc BAC
=> EB/AE=BN/AN
=> đpcm
c) ta có : BNI cân
NM là tia phân giác
=> NM cũng là tia trung trực
=> EBN = EIN
MÀ IBN = BIN ( tam giác cân )
=> EBI=EIB (1)
=> tam giác EBI cân
mà P là điểm chính giữa cung AC
=> BP là đường phân giác của góc EBN
=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2)
từ (1) và (2) => IBN=EIB
mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC
d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN
có N chung
góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )
=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN
=> đpcm
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N
b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI
CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = EI.AN => AE.BN = EB.AN
c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> EI //BC
d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
A)
Ta có góc IBN là góc nội tiếp chắn cung PN
=> góc IBN = \(\dfrac{sđPN}{2}\)
Vì góc BIN là góc có đỉnh nằm trong đường tròn
nên: góc BIN = \(\dfrac{sđAP+sđBN}{2}=\dfrac{sđPC+sđCN}{2}=\dfrac{sđPN}{2}\) (vì P nằm chính giữa cung AC nên AP = PC; vì N nằm chính giữa cung BC nên BN = CN)
Xét ΔBIN có:
góc BIN = góc IBN
Do đó: ΔBIN cân tại N
Cho đường tròn (O) lấy 3 điểm A,B, theo thứ tự gọi M,N,P lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB,BC,CA. BP cắt AN tại I , MN cắt AB tại E .
a/ chứng minh tam giác BNI cân .
b/ chứng minh AE.BN=EB.AN
c/ chứng minh EI // BC.
d/ Gọi D là giao điểm của AN và BC . Chứng minh AN/BN = AB/BD
Trên đường tròn (O;R) lấy ba điểm A, B , C. Gọi M,N,P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, cung BC, cung AC, AN cắt BP tại I, AB cắt MN tại E. CMR
1) tam giác BNI cân
2) AE.BN = EB.AN
3) EI // BC
4) AN/BN = AB/BD với AN cắt BC tại D
cho đường tròn tâm o , các điểm b và c nằm trên đường tròn . các tiếp tuyến tại b và c cắt nhau tại a . gọi m là điểm của cung nhỏ bc . tiếp tuyến tại m cắt ab và ac theo thứ tự d và e . gọi giao điểm của od và oe với bc lần lượt là i và k
Chứng minh rằng :
a) các tứ giác OBDK , DIKE là tứ giác nội tiếp ,
b)ba đường thẳng OM , DK , EI đồng quy
Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho EM=EC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại N ( N khác B). Các đường thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F.
a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED
b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN
c) Gọi I là trung điểm của AN, tia IM cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.
4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.
4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.
Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác B D C ^
Ta có K Q C ^ = 2 K M C ^ (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))
N D C ^ = K M C ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung N C ⏜ )
Mà B D C ^ = 2 N D C ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^
Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở ⇒ B C D ^ = B C Q ^ do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK
Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK
Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).
Cho tam giác ABC không cân tại A. Đường tròn (O) thay đổi đi qua B và C theo thứ tự cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Gọi P là giao điểm của BN và CM. Q là điểm chính giữa cung BC không chứa M,N của (O). K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC. CMR: KQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Câu 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O) (B,C: tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của (O); D nằm giữa D & E; tia AD nằm giữa 2 tia AB và AO.
a) Gọi H là giao điểm của OA và BC. C/m: DEOH nội tiếp
b) Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). C/m: EH.AD= MH.AN
Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CA=CB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.
a) C/m: MOCD là hình bình hành
b) Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt (O) tại điểm thứ 2 là N. Kẻ EF vuông góc với AC, EF cắt AN tại I, cắt (O) tại điểm thứ 2 là K; EB cắt AN tại H. C/m: BHIK nội tiếp.
Câu 3: Cho (O;R). Từ điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO=2R. Vẽ tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp tuyến). Vẽ cát tuyến SDE (D nằm giữa S và E), điểm O nằm trong góc ESB. Từ O kẻ đường vuông góc với OA cắt SB tại M. Gọi I là giao điểm của OS và (O).
a) C/m: MI là tiếp tuyến của (O)
b) Qua D kẻ đường vuông góc với OB cắt AB tại H và EB tại K. C/m: H là trung điểm của DK.
