a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

a/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}chung\\\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\sim HAC\left(g-g\right)\)

b/ \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10cm\)

\(AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8cm\)

c/ \(\Delta HEA\sim\Delta CEH\left(g-g\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HE}{CE}=\dfrac{EA}{HE}\Leftrightarrow HE^2=EA.EC\left(đpcm\right)\)

a) Xét ΔHAC và ΔABC có:

∠(ACH ) là góc chung

∠(BAC)= ∠(AHC) = 90o

⇒ ΔHAC ∼ ΔABC (g.g)

b) Xét ΔHAD và ΔBAH có:

∠(DAH ) là góc chung

∠(ADH) = ∠(AHB) = 90o

⇒ ΔHAD ∼ ΔBAH (g.g)

c) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông ⇒ ADHE là hình chữ nhật.

⇒ ΔADH= ΔAEH ( c.c.c) ⇒ ∠(DHA)= ∠(DEA)

Mặt khác: ΔHAD ∼ ΔBAH ⇒ ∠(DHA)= ∠(BAH)

∠(DEA)= ∠(BAH)

Xét ΔEAD và ΔBAC có:

∠(DEA)= ∠(BAH)

∠(DAE ) là góc chung

ΔEAD ∼ ΔBAC (g.g)

d) ΔEAD ∼ ΔBAC

ΔABC vuông tại A, theo định lí Pytago:

Theo b, ta có:

1) Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có 

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC(g-g)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

mà AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{AD+CD}{6+10}=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{1}{2}\)

hay AD=3(cm)

Vậy: AD=3cm

a) Vì \(AH\) là đường cao nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(CBA\) có:

\(\widehat B\) (chung)

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta ABH\backsim\Delta CBA\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(A{B^2} = BH.BC\) .

b)

-  Vì \(HE\) vuông góc với \(AB\) nên \(\widehat {HEA} = \widehat {HEB} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AHE\) và tam giác \(ABH\) có:

\(\widehat {HAE}\) (chung)

\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AHE\backsim\Delta ABH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(A{H^2} = AB.AE\) . (1)

- Vì \(HF\) vuông góc với \(AC\) nên \(\widehat {HFC} = \widehat {HFA} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AHF\) và tam giác \(ACH\) có:

\(\widehat {HAF}\) (chung)

\(\widehat {AFH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AHF\backsim\Delta ACH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AH}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(A{H^2} = AF.AC\) . (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(AE.AB = AF.AC\) (điều phải chứng minh)

c) Vì \(AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).

Xét tam giác \(AFE\) và tam giác \(ABC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AFE\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).

d) Vì \(HF\) vuông góc với \(AC\) nên \(CF \bot HI\), do đó, \(\widehat {CFH} = \widehat {CFI} = 90^\circ \).

Vì \(IN \bot CH \Rightarrow \widehat {CBI} = \widehat {HNI} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(HFC\) và tam giác \(HNI\) có:

\(\widehat {CHI}\) (chung)

\(\widehat {HFC} = \widehat {HNI} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta HFC\backsim\Delta HNI\) (g.g).

Suy ra, \(\frac{{HF}}{{HN}} = \frac{{HC}}{{HI}}\) (hai cặp cạnh tương ứng cùng tỉ lệ)

Do đó, \(\frac{{HF}}{{HC}} = \frac{{HN}}{{HI}}\).

Xét tam giác \(HNF\) và tam giác \(HIC\) có:

\(\widehat {CHI}\) (chung)

\(\frac{{HF}}{{HC}} = \frac{{HN}}{{HI}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta HNF\backsim\Delta HIC\) (c.g.c).

a)xét ΔABC và ΔHBA ta có

\(\widehat{BAH}=\widehat{BHA}=90^o\)

\(\widehat{B}chung\)

=>ΔABC ∼ ΔHBA(g.g)(1)

b)xét ΔABC và ΔAHC ta có

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{B}chung\)

->ΔABC ∼ ΔAHC(g.g)(2)

từ (1) và (2)=>ΔHBA và ΔAHC

->\(\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HC}{AH}\)

=>\(AH^2=BH.HC\)

`a)` Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `\hat{B}+\hat{C}=90^o`

      Xét `\triangle ABH` vuông tại `H` có: `\hat{B}+\hat{A_1}=90^o`

    `=>\hat{C}=\hat{A_1}`

Xét `\triangle ABC` và `\triangle HBA` có:

    `{:(\hat{C}=\hat{A_1}),(\hat{B}\text{ là góc chung}):}}=>\triangle ABC` $\backsim$ `\triangle HBA` (g-g)

`b)` Ta có: `BC=HB+HC=4+9=13(cm)`

Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `AH` là đường cao

    `@AH=\sqrt{BH.HC}=6 (cm)`

    `@AB=\sqrt{BH.BC}=2\sqrt{13}(cm)`

Ta có: `\hat{DEA}=\hat{ADH}=\hat{AEH}=90^o`

   `=>` Tứ giác `AEHD` là hcn `=>DE=AH=6(cm)`

`c)` Xét `\triangle AHB` vuông tại `H` có: `HD \bot AB=>AH^2=AD.AB`

      Xét `\triangle AHC` vuông tại `H` có: `HE \bot AC=>AH^2=AE.AC`

   `=>AD.AB=AE.AC`

a: BC vuông góc AB

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAB)

b: BK vuông góc AC

BK vuôg góc SA

=>BK vuông góc (SAC)

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABD vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BD=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BC=BK\cdot BD\)

=>\(\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{BK}{BC}\)

Xét ΔBHK và ΔBDC có

\(\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{BK}{BC}\)

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK đồng dạng với ΔBDC