\(D=\sqrt{\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36}\)

Đặt a^2+6a=x

=>\(D=\sqrt{x\left(x+5\right)\left(x+8\right)+36}\)

\(=\sqrt{x\left(x^2+13x+40\right)+36}\)

\(=\sqrt{x^3+13x^2+40x+36}\)

=>\(D=\sqrt{x^3+9x^2+4x^2+36x+4x+36}\)

\(=\sqrt{\left(x+9\right)\left(x^2+4x+4\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(x+2\right)^2}\)

=|a+3|*|x+2| là số nguyên

Nhìn cái D cồng kềnh thế thôi chứ key vô cùng EZ.

\(D=\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)

\(=\sqrt{\left[a\left(a+6\right)\right]\left[\left(a+1\right)\left(a+5\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+4\right)\right]+36}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36}\)

Đặt \(a^2+6a=x\)

Ta có:

\(D=\sqrt{x\left(x+5\right)\left(x+8\right)+36}=\sqrt{x^3+13x^2+40x+36}\)

\(=\sqrt{\left(x+9\right)\left(x+2\right)^2}\)

Thay \(x=a^2+6a\) ta có:

\(D=\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a+6a+2\right)^2}=\left(a+3\right)\left(a+6a+2\right)\)

là số nguyên vs a nguyên khác 0 nha !

\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36=\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36\)
Đặt \(a^2+6a=t\) ta có:\(t\left(t+5\right)\left(t+8\right)+36=t\left(t^2+13t+40\right)=t^3+13t^2+40t+36=\left(t+9\right)\left(t+2\right)^2\)

Do đó \(\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}=\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a^2+6a+2\right)^2}\)

\(=\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\)(Dấu () ở đây là giá trị tuyệt đối nha)

Do đó với a nguyên thì \(\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\)nguyên (Dấu () ở đây là giá trị tuyệt đối nha) 

Vậy nếu a nguyên thì \(\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)nguyên

\(\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)

\(=\sqrt{a\left(a+6\right)\left(a+1\right)\left(a+5\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)+36}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36}\left(1\right)\)

Đặt \(a^2+6a=x\), Ta có:

\(\left(1\right)=\sqrt{x\left(x+5\right)\left(x+8\right)+36}\)

\(=\sqrt{\left(x^2+5\right)\left(x+8\right)+36}=\sqrt{x^3+13x^2+40x+36}\)

\(=\sqrt{x^3+9x^2+4x^2+36x+4x+36}=\sqrt{\left(x+9\right)\left(x+2\right)^2}\)

Thay \(x=a^2+6a\)vào biểu thức trên ta được:

\(\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a^2+6a+2\right)^2}=\left(a+3\right)\left(a^2+6a+2\right)\)

\(\rightarrowđpcm\)

a =1  => A =2\(\sqrt{21}\)

CM đến sang năm

bỏ cái căn đi là chứng minh ngon lành ngay ^^

Lời giải:

\(a(a+1)(a+2)(a+4)(a+5)(a+6)+36=[a(a+4)(a+5)][(a+1)(a+2)(a+6)]+36\)

\(=(a^3+9a^2+20a)(a^3+9a^2+20a+12)+36\)

\(=(a^3+9a^2+20a)^2+12(a^3+9a^2+20a)+36\)

\(=(a^3+9a^2+20a+6)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a(a+1)(a+2)(a+4)(a+5)+36}=|a^3+9a^2+20a+6|\) có giá trị nguyên với mọi $a$ nguyên (đpcm)

Giả sử f(x) = c₀ + c₁x + ... + c_nxⁿ với c₀, c₁, ..., c_n là các số nguyên

f(a) - f(b) = (c_n.aⁿ + ... + c₁.a + c₀) - (c_n.bⁿ + ... + c₁.b + c₀)

= c_n(aⁿ - bⁿ) + ... + c₁(a - b) + (c₀ - c₀)

= c_n(a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + b^n-1) + ... + c₁(a - b)

= (a - b)(...) ⋮ (a - b)

Vậy bài toán đã được chứng minh