Theo định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\quad (*)\)

+) Ta có: \(\hat A = {180^o} - \left( {\hat B + \;\hat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}\)

\( \Rightarrow a = \frac{b}{{\sin B}}.\sin A = \frac{{10}}{{\sin {{60}^o}}}.\sin {75^o} \approx 11,154\)

+) \((*) \Rightarrow R = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{{10}}{{2\sin {{60}^o}}} = \frac{{10}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}.\)

+) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin {\mkern 1mu} \hat C\) \( \approx \frac{1}{2}.11,154.10.\sin {45^o}\)\( \approx 39,44\)

+) Lại có: \(R = \frac{c}{{2\sin C}}\)\( \Rightarrow c = 2.\frac{{10\sqrt 3 }}{3}.\sin {45^o} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,165\)

\( \Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2} \approx \frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} \approx 14,66\)

\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{39,44}}{{14,66}} \approx 2,7\)

1/ Ta có

IB=IA=IC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì kc từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau

=> tg IAB và tg IAC cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\) và \(\widehat{ICA}=\widehat{IAC}\)

Xét tg IAB có \(\widehat{AIB}=180^o-\left(\widehat{IBA}+\widehat{IAB}\right)=180^o-2.\widehat{IAB}\) (1)

Xét tg IAC có \(\widehat{AIC}=180^o-\left(\widehat{IAC}+\widehat{ICA}\right)=180^o-2.\widehat{IAC}\) (2)

Công 2 vế của (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=360^o-2\left(\widehat{IAB}+\widehat{IAC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=180^o=360^o-2\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{BAC}=90^o\) => tg ABC vuông tại A

2/

Ta có

tg AIB cân tại I (cmt)

\(OI\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối hai tiếp điểm)

=> IO là phân giác của \(\widehat{AIB}\Rightarrow\widehat{AIO}=\widehat{BIO}=\frac{\widehat{AIB}}{2}\) (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường phân giác)

C/m tương tự ta cũng có \(\widehat{AIO'}=\widehat{CIO'}=\frac{\widehat{AIC}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIO}+\widehat{AIO'}=\widehat{OIO'}=\frac{\widehat{AIB}+\widehat{AIC}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\) => tg OIO' vuông tại I

3/

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì đường nối tâm hai đường tròn đi qua điểm tiếp xúc => O, A, O' thẳng hàng

Xét tg vuông OIO' có

\(IA^2=OA.O'A\) (trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) \(\Rightarrow IA=\sqrt{OA.OA'}=\sqrt{R.R'}\)

Ta có IB=IA=IC (cmt) => \(IA=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2.IA=2\sqrt{R.R'}\)

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

=> \(R = \frac{a}{{2\sin A}}\) => A sai.

 \(R = \frac{b}{{2\sin B}}=\frac{b}{{2\sin 135^o}}=\frac{{\sqrt 2 }}{2}b\) => B đúng.

C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Chọn B

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

 \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}};\;\;b = \dfrac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\)

Mà \(a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{2\sin {{45}^o}}} = 5\sqrt 2 ;\;\;b = \dfrac{{a.\sin {{70}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 13,29\)

Mặt khác: \(\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o} \Rightarrow \widehat C = {65^o}\)

Từ định lí sin ta suy ra: \(c = \dfrac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = \dfrac{{10.\sin {{65}^o}}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 12,82.\)

Vậy \(R = 5\sqrt 2 ;\;\;b \approx 13,29\); \(c \approx 12,82.\)

tam giác A'B'C' đều