Với a,b,c dương, ta có:

a/a+b > a/a+b+c

b/b+c > b/a+b+c

c/c+a > c/a+b+c

=> A > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c => A>1.               (1)

Ta lại có

A = a/a+b + b/b+c + c/c+a

   = a+b-b/a+b + b+c-c/b+c + c+a-a/c+a

   = 1-b/a+b + 1-c/b+c + 1-a/c+a

   = 3-(b/a+b + c/b+c + a/c+a) = 3-B

Tương tự phần chứng minh trên, ta có

b/a+b > b/a+b+c

c/b+c > c/a+b+c

a/a+c > a/a+b+c

=> B > b/a+b+c + c/a+b+c + a/a+b+c => B>1

mà A = 3-B

=> A < 2                                                           (2)

Từ (1) và (2) => 1<A<2

Mà không có số tự nhiên nào ở giữa 1 và 2 => A không là số tự nhiên

a) \(2\left(\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{4}{5.9}+...+\dfrac{16}{n\left(n+16\right)}\right)=\dfrac{16}{25}\)

\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+16}=\dfrac{8}{25}\)

\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+16}=\dfrac{8}{25}\)

\(\dfrac{n+13}{3\left(n+16\right)}=\dfrac{8}{25}\)

\(24n+384=25n+325\)

\(25n-24n=384-325\)

\(n=59\)

b) Sai đề nha

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2018}{2019}< 1\\\dfrac{2019}{2020}< 1\\\dfrac{2020}{2021}< 1\\\dfrac{2021}{2022}< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{2018}{2019}+\dfrac{2019}{2020}+\dfrac{2020}{2021}+\dfrac{2021}{2022}< 4\)

chị ơi hình như chị nhầm rồi P/s cuối phải là 1/n.(n+6)thì phải

Bài 2: 

a) Ta có: \(A=\dfrac{4}{n-1}+\dfrac{6}{n-1}-\dfrac{3}{n-1}\)

\(=\dfrac{4+6-3}{n-1}\)

\(=\dfrac{7}{n-1}\)

Để A là số tự nhiên thì \(7⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;8\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{2;8\right\}\)

ta có B=2n+9/n+2-3n+5n+1/n+2=4n+10/n+2                                                   Để B là STN thì 4n+10⋮n+2                          4n+8+2⋮n+2                                  4n+8⋮n+2                                                      ⇒2⋮n+2                                     n+2∈Ư(2)                                                        Ư(2)={1;2}                                  Vậy n=0                                                                                  

Ta có: =4+6−3n−1=4+6−3�−1

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

Xét tử số:

\(a^3+3a^2+2a=a(a^2+3a+2)\)

\(=a[a(a+2)+(a+2)]\)

\(=a(a+1)(a+2)\)

Vì $a,a+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên

\(a(a+1)\vdots 2\Rightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 2\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 2\) (1)

Mặt khác \(a,a+1,a+2\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho $3$

\(\Leftrightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 3\) (2)

Từ (1)(2) kết hợp với $(2,3)$ nguyên tố cùng nhau suy ra \(a^3+3a^2+2a\vdots 6\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^3+3a^2+2a}{6}\in\mathbb{Z}\). Ta có đpcm.

A=1/2+1/3+..+1/2019 < 1>

A= 1+1/2+1/3+..+1/2019 < 1>

A=1+1/2+1/3+..+1/2019 <1>

A=1+1/2+1/3+..+1/2019 <2018>

Vì 2018/2019 <1>

nên A=1/2+1/3+..+1/2019<1>

=> A=1/2+1/3+..+1/2019 không phải là số tự nhiên.