Chương III : Phân số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hỏa Hỏa

Cho a ϵ Z. Chứng tỏ \(A=\dfrac{a}{3}+\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^3}{6}\) là số nguyên

Akai Haruma
20 tháng 1 2018 lúc 10:53

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

Xét tử số:

\(a^3+3a^2+2a=a(a^2+3a+2)\)

\(=a[a(a+2)+(a+2)]\)

\(=a(a+1)(a+2)\)

Vì $a,a+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên

\(a(a+1)\vdots 2\Rightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 2\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 2\) (1)

Mặt khác \(a,a+1,a+2\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho $3$

\(\Leftrightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 3\) (2)

Từ (1)(2) kết hợp với $(2,3)$ nguyên tố cùng nhau suy ra \(a^3+3a^2+2a\vdots 6\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^3+3a^2+2a}{6}\in\mathbb{Z}\). Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Ruby
Xem chi tiết
Kim Taehyung (V)
Xem chi tiết
nguyễn tú uyên
Xem chi tiết
Bichvi Vothi
Xem chi tiết
Lê Thị Bích Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Uyên
Xem chi tiết
Kaito Linh
Xem chi tiết
Khánh Linh Phạm
Xem chi tiết
hay le
Xem chi tiết