Với m = 0 ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}2y=1\\2x=-1\end{matrix}\right.\). HPT này không có nghiệm nguyên.

Xét \(m\neq 0\).

Để hpt có nghiệm duy nhất thì: \(\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{2}{m}\Leftrightarrow m\ne\pm2\).

HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2mx+4y=2m+2\\2mx+m^2y=2m^2-m\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(m^2-4\right)y=2m^2-3m-2\).

\(\Rightarrow y=\dfrac{2m^2-3m-2}{m^2-4}=\dfrac{2m+1}{m+2}\).

Từ đó ta có \(x=\dfrac{m+1-\dfrac{2\left(2m+1\right)}{m+2}}{m}=\dfrac{m^2+3m+2-4m-2}{m\left(m+2\right)}=\dfrac{m^2-m}{m\left(m+2\right)}=\dfrac{m-1}{m+2}\).

Vậy m là các số sao cho \(\dfrac{2m+1}{m+2}\) là số nguyên (Do \(\dfrac{2m+1}{m+2}-\dfrac{m-1}{m+2}=1\) là số nguyên).

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2}\ne\dfrac{-2}{-m}\)

=>\(m^2\ne4\)

=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-2y=2m-1\\2x-my=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y=mx-2m+1\\2x-my=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\2x-m\left(x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\right)=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\2x-x\cdot\dfrac{m^2}{2}+m^2-\dfrac{1}{2}m=9-3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\x\left(2-\dfrac{m^2}{2}\right)=-m^2+\dfrac{1}{2}m-3m+9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\\x\cdot\dfrac{4-m^2}{2}=-m^2-\dfrac{5}{2}m+9=\dfrac{-2m^2-5m+18}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-2m^2-5m+18}{4-m^2}=\dfrac{2m^2+5m-18}{m^2-4}\\y=x\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\left(2m+9\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{2m+9}{m+2}\cdot\dfrac{m}{2}-m+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{2m^2+9m-2m\left(m+2\right)+m+2}{2\left(m+2\right)}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+9}{m+2}\\y=\dfrac{2m^2+10m+2-2m^2-4m}{2\left(m+2\right)}=\dfrac{6m+2}{2\left(m+2\right)}=\dfrac{3m+1}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Để x,y nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}2m+9⋮m+2\\3m+1⋮m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2m+4+5⋮m+2\\3m+6-5⋮m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5⋮m+2\\-5⋮m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(5⋮m+2\)

=>\(m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\)

a) Với \(m=0\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}0x+4y=10-0\\x+0y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận trường hợp này).

Với \(m\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\-mx-m^2y=-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(4-m^2\right)y=10-5m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Biện luận:

Với \(m=2\) \(\left(1\right)\Rightarrow0y=0\) (phương trình vô số nghiệm),

Với \(m=-2\Rightarrow0y=20\) (phương trình vô nghiệm).

Với \(m\ne\pm2\Rightarrow y=\dfrac{10-5m}{4-m^2}=\dfrac{5\left(2-m\right)}{\left(2-m\right)\left(2+m\right)}=\dfrac{5}{m+2}\)

Vì \(y>0\Rightarrow\dfrac{5}{m+2}>0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2\)

Thay \(y=\dfrac{5}{m+2}\) vào (2) ta được:

\(x+\dfrac{5m}{m+2}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{8-m}{m+2}\)

Vì x>0 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}8-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}8-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow-2< m< 8\)

Vì m là số nguyên và \(m\ne2\) nên \(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất sao cho \(x>0,y>0\).

b) Với \(m=0\) ta có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(4;\dfrac{5}{2}\right)\) (loại).

Với \(m=2\). Ta có hệ vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì y là số nguyên dương nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\2-\dfrac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮2\\x< 4\end{matrix}\right.\). Mặt khác x>0.

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)
Với \(m\ne\pm2\). Ta có \(y=\dfrac{5}{m+2}\).

Vì x,y là các số nguyên dương nên x,y>0. Nên:

\(m\in\left\{-1;0;1;3;4;5;6;7\right\}\) (1')

Mặt khác: \(5⋮\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow m+2\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow m+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

\(\Rightarrow m\in\left\{-1;-3;3;-7\right\}\) (2')

Từ (1') ,(2') \(\Rightarrow m\in\left\{-1;3\right\}\)

Vậy \(m\in\left\{-1;2;3\right\}\) thì hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với x,y là số nguyên dương.

\(a,\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2m\\x-my=m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x-my=2m^2\\x-my=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^2x-x=2m^2-m-1\Leftrightarrow x\left(m^2-1\right)=2m^2-m-1\)

\(ycầuđềbài\Leftrightarrow m^2-1\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm-1\)

\(b,\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2-m-1}{m^2-1}=\dfrac{\left(m-1\right)\left(2m+1\right)}{m^2-1}=\dfrac{2m+1}{m+1}=2+\dfrac{-2}{m+1}\\y=mx-2m=\dfrac{m\left(2m+1\right)-2m^2-2m}{m+1}=\dfrac{-m}{m+1}=-1+\dfrac{1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(\left(x;y\right)\in Z\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\pm1\\m+1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\\m+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=0;m=-2\)

giúp mik đc ko, mikk cần gấp

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+mx=2+m\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=m+2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=m-mx=m-m\cdot\dfrac{m+2}{2m-1}=m-\dfrac{m^2+2m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=\dfrac{2m^2-m-m^2-2m}{2m-1}=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Để x+y>0 thì \(\dfrac{m+2}{2m-1}+\dfrac{m^2-3m}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2+m^2-3m}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)

mà \(m^2-2m+2>0\forall m\)

nên 2m-1>0

\(\Leftrightarrow2m>1\)

hay \(m>\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+y>0 thì \(m>\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mx-x-m+mx=2\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2mx-x=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=2+m\\y=m-mx\end{matrix}\right.\)

Hpt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\) 2m - 1 \(\ne\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=m-m.\dfrac{2+m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+m}{2m-1}\\y=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x; y) = ...

Ta có: x + y > 0

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(m-1\right)^2+1}{2m-1}\) > 0

\(\Leftrightarrow\) 2m - 1 > 0 (vì (m - 1)² + 1 > 0 với mọi m)

\(\Leftrightarrow\) 2m > 1

\(\Leftrightarrow\) m > \(\dfrac{1}{2}\)

Kết hợp với m \(\ne\) \(\dfrac{1}{2}\) ta có: m > \(\dfrac{1}{2}\) thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y > 0

Vậy m > \(\dfrac{1}{2}\)

Chúc bn học tốt! (Chắc đúng :D)

Để hệ có nghiệm duy nhất 

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+1}{m}\ne-\dfrac{1}{1}\left(m\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+1}{m}\ne-1\\ \Leftrightarrow m+1\ne-m\\ \Leftrightarrow2m+1\ne0\\ \Leftrightarrow m\ne-\dfrac{1}{2}\)

a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=2m\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2y+2y=2m-1\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(m^2+2\right)=2m-1\\mx=1+2y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\\x=\dfrac{1+2y}{m}=\left(1+\dfrac{2m-1}{m^2+2}\right)\cdot\dfrac{1}{m}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m^2+2+2m-1}{m^2+2}\cdot\dfrac{1}{m}=\dfrac{m^2+2m+1}{m\left(m^2+2\right)}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x>0 và y>0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2m+1}{m\left(m^2+2\right)}>0\\\dfrac{2m-1}{m^2+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2m-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}>0\)

Vậy: Khi m>0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x>0 và y>0

1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{-2}{-1}=2\)

=>\(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\mx-y=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\y=mx-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\left(mx-4\right)=5\\y=mx-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(1-2m\right)=5-8=-3\\y=mx-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{3m}{2m-1}-4=\dfrac{3m-4\left(2m-1\right)}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2m-1}\\y=\dfrac{-5m+4}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Để x,y trái dấu thì xy<0

=>\(\dfrac{3\left(-5m+4\right)}{\left(2m-1\right)^2}< 0\)

=>-5m+4<0

=>-5m<-4

=>\(m>\dfrac{4}{5}\)

2: Để x=|y| thì \(\dfrac{3}{2m-1}=\left|\dfrac{-5m+4}{2m-1}\right|\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{-5m+4}{2m-1}=\dfrac{3}{2m-1}\\\dfrac{-5m+4}{2m-1}=\dfrac{-3}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}-5m+4=3\\-5m+4=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{5}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{7}{5}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)