Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF. Chứng minh
a, Ba đường tròn ngoại tiếp 3 tam giác đều nói trên cùng đi qua 1 điểm
b, 3 đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua 1 điểm
c, Ba đoạn thẳng AD, BE, CF bằng nhau
Bài 8. Cho tam giác ABC. Dựng ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE, ABF. Chứng minh rằng:
a) Ba đường tròn ngoại tiếp tam giác đều nói trên đều đi qua 1 điểm
b) Ba đường thẳng AD, BE,CF bằng nhau
c) Ba đoạn thẳng AD,BE,CF bằng nhau
Cho tam giác ABC nhọn với AB<BC và D là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của B A C ^ .
Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E.
Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F.
1) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE.
2). Chứng minh rằng các đường thẳng B E ; C F ; A D đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G.
3). Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF tại Q. Đường thẳng QE, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P khác E. Chứng minh rằng các điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.
1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và
F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .
2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.
Ta có G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B , và F B ∥ A D ta có G ∈ A D .
3). Chứng minh B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.
1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):
- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
+ Góc \(A\) chung.
+ Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).
2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:
- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).
3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:
- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
cho tam giác ABC . Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF. Chứng minh rằng:
a) Ba đường tròn ngoại tếp ba tam giác đều nói trên cùng đi qua một điểm
b) 3 đường thẳng DA, BE, CF cùng đi qua một điểm
c) 3 đoạn thẳng AD, BE, CF bằng nhau
1.cho tam giác ABC không có góc nào vượt quá 120 độ, vẽ ba tam giác đều BCA', ACB', ABC' ra phía ngoài các tam giác. CMR các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều đó cùng đi qua một điểm.
2. Cho tam giác ABC. Gọi D,E,F tương ứng là các điểm nằm trên các cạnh AB, BC,CA. CMR: các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADF, BDE, CEF cắt nhau tại một điểm.
Hepl me
Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các tam giác đều ABF và ACE. Chứng minh rằng BE = CF
GT | △ABC. △ABF đều. △ACE đều |
KL | BE = CF |
Bài giải:
Vì △ABF đều => AB = BF = AF và ABF = AFB = FAB = 60o (1)
Vì △ACE đều => AC = CE = AE và ACE = AEC = CAE = 60o (2)
Từ (1) và (2) => FAB = CAE = 60o
Ta có: FAC = FAB + BAC
BAE = CAE + BAC
Mà FAB = CAE (cmt)
=> FAC = BAE
Xét △FAC và △BAE
Có: AF = AB (cmt)
FAC = BAE (cmt)
AC = AE (cmt)
=> △FAC = △BAE (c.g.c)
=> FC = BE (2 cạnh tương ứng)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC và 3 đường cao AD,BE,CF cùng đi qua điểm H. Gọi (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
1, CM đường tròn (S) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH
2, Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn (S) với các đoạn BH, CH. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (S) cắt đường thẳng MN tại T. CM đường thẳng HT song song với EF
1) Gọi G là trung điểm AH
Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp
Tương tự \(\Rightarrow CDHE,AFDC\) nội tiếp
Vì \(\Delta AFH\) vuông tại F có G là trung điểm AH \(\Rightarrow GA=GH=GF\)
Tương tự \(\Rightarrow GE=GA=GH\Rightarrow GE=GF=GA=GH\)
\(\Rightarrow G\) là tâm (AEHF)
Ta có: \(\angle FEH=\angle FAH=\angle FCD=\angle HED\)
\(\Rightarrow\angle FED=2\angle FEH=2\angle FAH=\angle FGD\Rightarrow FGED\) nội tiếp
\(\Rightarrow\left(S\right)\) đi qua trung điểm AH
2) EFMN nội tiếp \(\Rightarrow\angle FNM=\angle FEM=\angle FCB\) (BCEF nội tiếp)
\(\Rightarrow MN\parallel BC\) mà \(BC\bot AD\Rightarrow MN\bot AD\)
MDEG nội tiếp \(\Rightarrow\angle MDG=\angle MEG=\angle HEG=\angle GHE=\angle MHD\)
\(\Rightarrow\Delta MHD\) cân tại M có \(MN\bot HD\Rightarrow MN\) là trung trực HD
mà \(T\in MN\Rightarrow\angle MHT=\angle MDT=\angle MED=\angle FEM\)
\(\Rightarrow HT\parallel EF\)
cho tam giác ABC vuông tại A .Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK,ACDE
1.chứng minh H,A,D thẳng hàng
2.đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F. chứng minh tam giác FBC vuông cân
3. cho biết góc ABC>45 độ . gọi M là giao điểm của BF và ED . chứng minh 5 điểm B,K,E,M,C cùng nằm trên một đường tròn
4. chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Em tài trợ cái hình cho mọi người dễ nhìn ạ!
à, cái chỗ đoạn thẳng H, A, D là đường đứt khúc ạ, em quên sửa!
ý em là: đoạn thẳng nối H, A và D là đường đứt khúc!
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD; BE; CF của tam giác
ABC cùng đi qua trực tâm H.
1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp;
2) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác
AKC và AB.AC = 2. AD. R;
3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên AK. Chứng minh rằng MD song song với BK.
4) Giả sử BC là dây cố định của đường tròn (O) còn A di động trên cung lớn BC. Tìm vị trí
điểm A để diện tích tam giác AEH lớn nhất.
1.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm tùy ý trên cạnh BC.
L là hình chiếu của H trên AK. Chứng minh các tứ giác BFLK và CELK nội tiếp
2.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm tùy ý trên cạnh BC (K khác B, C, D).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK và tam giác BFK cắt nhau tại L.
a) Chứng minh A, L, K thẳng hàng
b) Chứng minh HL vuông góc với AK
3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm tùy ý trên cạnh BC (K khác B, C).
Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK.
Chứng minh M, H, K thẳng hàng
4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là điểm tùy ý trên cạnh BC (K khác B, C).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF và đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK cắt nhau tại N.
Tìm vị trí của K trên BC để BC, EF, HL đồng quy.
Bài 1:
+) Chứng minh tứ giác BFLK nội tiếp:
Ta thấy FAH và LAH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AFHL là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{ALF}=\widehat{AHF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
Lại có \(\widehat{AHF}=\widehat{FBK}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAH}\) )
Vậy nên \(\widehat{ALF}=\widehat{FBK}\), suy ra tứ giác BFLK nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)
+) Chứng minh tứ giác CELK nội tiếp:
Hoàn toàn tương tự : Tứ giác AELH nội tiếp nên \(\widehat{ALE}=\widehat{AHE}\) , mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{ALE}=\widehat{ACD}\)
Suy ra tứ giác CELK nội tiếp.
Các bài còn lại em tách ra nhé.