Sửa đề : Tìm nghiệm nguyên thỏa mãn bạn nhé.

Vì nếu tìm nghiệm nguyên dương thì từ đầu ta suy ra ngay PT vô nghiệm

Lời giải: Cho x,y và z thuộc Z

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=z\left(1\right)\\3x^2+2y^2=z^2+13\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) trừ (1) bình phương ta

\(\Leftrightarrow2x^2+y^2-2xy-4x+4y+4=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\right)^2+\left(x+4\right)^2=37\)

Tổng hai số chính phương bằng 37 có một cặp duy nhất: (36,1)

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-2\right|=1\\\left|x+4\right|=36\end{matrix}\right.\left(\circledast\right)\\\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-2\right|=6\\\left|x+4\right|=1\end{matrix}\right.\left(\circledast\circledast\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=2-\left(x+y\right)\)

Đến đây lập bảng 13 nghiệm là ra, kết quả giống như Akai Haruma

Lời giải:

Sửa lại đề là tìm nghiệm nguyên thôi bạn nhé. Nếu tìm nghiệm nguyên dương thì hiển nhiên từ pt đầu tiên ta suy ra ngay hệ vô nghiệm.

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x+y+z=2\\ 3x^2+2y^2-z^2=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z=2-x-y\\ 3x^2+2y^2=13+z^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 3x^2+2y^2=13+(2-x-y)^2\)

\(\Leftrightarrow 3x^2+2y^2=13+4+x^2+y^2+2xy-4x-4y\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+y^2-2xy+4x+4y-17=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y-2)^2+(x+4)^2=37\)

\(\Rightarrow (x+4)^2=37-(x-y-2)^2\leq 37\)

\(\Rightarrow -\sqrt{37}\leq x+4\leq \sqrt{37}\)

Suy ra \(-10\leq x\leq 2\)

Ta có:

Từ đây suy ra \(x\in \left\{-10; -5; -3; 2\right\}\)

Với \(x=-10; (x-y-2)^2=1\Rightarrow (-12-y)^2=1\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=-13\\ y=-11\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix} z=25\\ z=23\end{matrix}\right.\)

Với \(x=-5; (x-y-2)^2=36\Rightarrow (-7-y)^2=36\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=-1\rightarrow z=8\\ y=-13\rightarrow z=20\end{matrix}\right.\)

Với \(x=-3; (x-y-2)^2=36\Rightarrow (-5-y)^2=36\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=1\rightarrow z=4\\ y=-11\rightarrow z=16\end{matrix}\right.\)

Với \(x=2, (x-y-2)^2=1\Rightarrow y^2=1\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=1\rightarrow z=-1\\ y=-1\rightarrow z=1\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

\(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\in N^{\cdot s}\Rightarrow x+y+z\ge3>2\\\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

Lời giải cho x,y,z thuộc Z

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=z\\3x^2+2y^2=z^2+13\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(2) trừ (1) bình phương \(\Leftrightarrow2x^2+y^2-2xy-4x+4y+4=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\right)^2+\left(x+4\right)^2=37\)

Tổng hai số cp bằng 37 duy nhất có cặp (36;1)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-2\right|=1\\\left|x+4\right|=36\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-2\right|=6\\\left|x+4\right|=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(I\right)\\\\\left(II\right)\end{matrix}\)

=> nghiệm (x;y) thế lại z =2-(x+y) => z

Lập bảng với 13 nghiệm chỉ dùng cho lớp 6

(lớp 9 không nên làm kiểu lớp 6)

(lớp 8 đừng lấy lớp 11 áp vào)

x=y=z=2

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+2z=4\\3x+6y-2z=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4x+y+2z\right)+\left(3x+6y-2z\right)=4+6=10\)

\(\Leftrightarrow7x+7y=10\)

\(\Leftrightarrow x+y=\dfrac{10}{7}\)

Do x, y nguyên dương nên không có x, y, z thoả mãn đề bài.

Đặt \(\left(x-1;y-2;z-3\right)=\left(a;b;c\right)=abc>0\)

Điều kiện bài toán trở thành :

\(a+1+b+2+c+3< 9\)

\(\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{c+5\left(a+1\right)+4\left(b+2\right)+3+\left(c+3\right)}\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+2\right)=\left(b+2\right)\left(c+3\right)=\left(c+3\right)+\left(a+1\right)+11+a+b+c< 3\)

\(a+b+c< 3\)

\(=\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ab+bc+ca}\)

Mặt khác, do  không âm, ta luôn có:

\(\text{⇒2√a≥a(3−a)≥a(b+c)⇒2a≥a(3−a)≥a(b+c) (1)}\)

Hoàn toàn tương tự ta có:\(\text{ 2√b≥b(c+a)2b≥b(c+a) (2)}\)

\(\text{2√c≥c(a+b)2c≥c(a+b) (3)}\)

Cộng vế với vế (1);(2);(3):

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\text{a=b=c=0a=b=c=0 hoặc a=b=c=1a=b=c=1}\)

1. Với mọi số thực x;y;z ta có:

\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

1.1

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu:

\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))

\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)

2.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu

...

b: =>x^2-y^2-4y-2x-3=0 và x^2+2x+y=0

=>x^2-2x+1-y^2-4y-4=0 và x^2+2x+y=0

=>x=1 và y=-2 và x^2+2x+y=0

=>Hệ vô nghiệm

a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=2x-5\\y=3-2x+z=3-2x+2x-5=-2\\3x-2\cdot\left(-2\right)+2x-5=14\end{matrix}\right.\)

=>y=-2; 3x+4+2x-5=14; z=2x-5

=>y=-2; x=3; z=2*3-5=1

Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)