Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Big City Boy

Tìm 3 bộ số x, y, z thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z\le9\\\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}+5x+4y+3z=xy+yz+xz+11\end{matrix}\right.\)

Rhider
26 tháng 11 2021 lúc 8:34

Đặt \(\left(x-1;y-2;z-3\right)=\left(a;b;c\right)=abc>0\)

Điều kiện bài toán trở thành :

\(a+1+b+2+c+3< 9\)

\(\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{c+5\left(a+1\right)+4\left(b+2\right)+3+\left(c+3\right)}\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+2\right)=\left(b+2\right)\left(c+3\right)=\left(c+3\right)+\left(a+1\right)+11+a+b+c< 3\)

\(a+b+c< 3\)

\(=\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ab+bc+ca}\)

Mặt khác, do aa không âm, ta luôn có:

\(\text{(√a−1)2(a+2√a)≥0(a−1)2(a+2a)≥0}\)

\(\text{⇒a2−3a+2√a≥0⇒a2−3a+2a≥0}\)

\(\text{⇒2√a≥a(3−a)≥a(b+c)⇒2a≥a(3−a)≥a(b+c) (1)}\)

Hoàn toàn tương tự ta có:\(\text{ 2√b≥b(c+a)2b≥b(c+a) (2)}\)

\(\text{2√c≥c(a+b)2c≥c(a+b) (3)}\)

Cộng vế với vế (1);(2);(3):

\(\text{2(√a+√b+√c)≥2(ab+bc+ca)2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)}\)

\(\text{⇔√a+√b+√c≥ab+bc+ca⇔a+b+c≥ab+bc+ca}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\text{a=b=c=0a=b=c=0 hoặc a=b=c=1a=b=c=1}\)

⇒x=...;y=...;z=...


Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Cố Gắng Hơn Nữa
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Đăng Vu Vài
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Easylove
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết