Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lunox Butterfly Seraphim

Tìm x,y,z thỏa mãn điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 9 2020 lúc 16:44

ĐKXĐ: ...

Lần lượt trừ vế với vế của từng pt ta được hệ mới:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}\\y-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4y-1}\\x-y=\sqrt{4y-1}-\sqrt{4x-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=\frac{4\left(z-x\right)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\\y-z=\frac{4\left(z-y\right)}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\\x-y=\frac{4\left(y-x\right)}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\right)=0\\\left(y-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}}\right)=0\\\left(x-y\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}}\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

Thay vào pt đầu:

\(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow4x^2=4x-1\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 9 2020 lúc 16:54

Cách 2: sử dụng BĐT

Ta có: \(1.\sqrt{4z-1}\le\frac{1}{2}\left(1+4z-1\right)=2z\)

\(\Rightarrow x+y\le2z\) (1)

Tương tự ta có: \(y+z\le2x\) (2) ; \(z+x\le2y\) (3)

Cộng vế với vế (1) và (2) \(\Rightarrow2y\le x+z\) (4)

Từ (3); (4) \(\Rightarrow2y=x+z\)

Hoàn toàn tương tự ta có: \(2z=x+y\) ; \(2x=y+z\)

\(\Rightarrow x=y=z\)

Thay vào pt ban đầu: \(2x=\sqrt{4x-1}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Tâm Trần Huy
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết