Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC = a, và góc giữa 2 vec tơ\(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\) là nhỏ nhất
Cho tam giác ABC có AB=4, AC = 5 , BAC =120°. G là trọng tâm của tam giác ABC, điểm E thỏa mãn vector AE=2/3 vector EC
a) Biểu diễn BE theo AB,AC.
b) Tìm tập hợp điểm I thỏa mãn đẳng thức vec tơ |IA+IG|=|IA–IG|.
c) M là một điểm khác G thỏa(GC-GB)(MA+MB+MC)=0. Chứng minh MG vg BC.
vector het nha
a: \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EC}\)
=>E nằm giữa A và C và AE=2/3EC
Ta có: AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)
=>\(AC=\dfrac{2}{3}EC+EC=\dfrac{5}{3}EC\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}EC}{\dfrac{5}{3}EC}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{5}\)
=>\(AE=\dfrac{2}{5}AC\)
=>\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)
\(=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\cdot\overrightarrow{AC}\)
b: \(\left|\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}\right|=\left|\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\right|\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IG}\\\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IA}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}2\cdot\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{0}\\2\cdot\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}I\equiv G\\I\equiv A\end{matrix}\right.\)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c
a) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}\)
b) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}\) với I là trung điểm của BC
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau ;
\(MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2\)
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, gọi G là trọng tâm. Tính T: \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)
\(=0\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a; BC = 2a và G là trọng tâm.
Tính giá trị của biểu thức G A → . G B → + G B → . G C → + G C → . G A
A. -3a2
B. -2a2
C. -4 a2/3
D. 2a2
Chọn C.
Vì 
nên
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Tam giác ABM đều nên 
Theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=3a, AC=4a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn
a) \(\left|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}\right|\)
b) \(2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{AC}\right|\)
Cho tam giác ABC cố định và G là trọng tâm tam giác. Tập hợp điểm M thỏa \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) vs a<0 là:
A. Trung điểm BC
B. Đường tròn tâm G , bán kính bằng a.
C. Đường tròn tâm G , bán kính bằng \(\dfrac{a}{3}\)
D. Đường tròn tâm M, bán kính bằng \(\dfrac{a}{3}\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=a\) (a>0 mới đúng, độ dài ko thể nhỏ hơn 0)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow3\left|\overrightarrow{MG}\right|=a\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))
\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{a}{3}\)
\(\Rightarrow\) Tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính \(\dfrac{a}{3}\)
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào sau đúng ?
a) \(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GI}\)
b) \(\overrightarrow{IG}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}\)
c) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}\)
d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}\)
