Câu 1:Phương trình \((x^2-x-2)\sqrt{x+1}=0\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 2: Cho tam giác ABC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho DC=2DB. Nếu \(\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}\) thì m và n bằng bao nhiêu?
Cho tam giác ABC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho DC= 2DB. Nếu \(\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}\) thì m và n bằng bao nhiêu?
Ta có \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+2\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\)
\(=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)
Vậy m = 2 , n = -1
Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 3AB. Gọi E, F là các điểm trên cạnh DC sao cho DE = EF = FC, O là giao điểm của À và BE, K là điểm thuộc cạnh bên BC sao cho \(\overrightarrow{BK}=x\overrightarrow{BC}\).
1) Chứng minh đẳng thức sau : \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)
2) Tìm x để 3 điểm D, O, K thẳng hàng.
Bài 1: Giải phương trình sau: \(x^2-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài cạnh AB biết cạnh AC=a, và góc giữa hai véctơ \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GD}\) nhỏ nhất.
1.
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+1}=a>0\\\sqrt{x^2-x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2b^2-a^2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}b-a\right)\left(2b+\sqrt{3}a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=\sqrt{3}b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{3}.\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+1=3x^2-3x+3\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Bài 2:
Đặt \(AB=x>0\)
\(AG=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}\)
\(CG=\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2+AC^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+a^2}\)
\(BG=\dfrac{2}{3}\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^2+\dfrac{a^2}{4}}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}\)
\(\Leftrightarrow GB^2+GC^2+2GB.GC.cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=AG^2\)
\(\Leftrightarrow cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=\dfrac{AG^2-BG^2-CG^2}{2GB.GC}\)
\(=\dfrac{\dfrac{a^2+x^2}{4}-\left[\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{x^2}{4}+a^2\right)+\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{a^2}{4}+x^2\right)\right]}{\dfrac{2}{9}\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\)
\(=-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{2\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\le-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{5\left(x^2+a^2\right)}=-\dfrac{11}{20}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=x\Leftrightarrow AB=a\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}=60^0;AB=4;AC=6\)
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Lấy các điểm M, N định bởi : \(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0};\left(x\ne-1\right)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM ?
Cho tam giác ABC đều cạnh a. M và N là các điểm sao cho 3\(\overrightarrow{BM}\)= 2\(\overrightarrow{BC}\), 5\(\overrightarrow{AN}\) = 4\(\overrightarrow{AC}\)
a, tính \(\overrightarrow{AB}\).\(\overrightarrow{AC}\); \(\overrightarrow{BC}\).\(\overrightarrow{AC}\)
b, cm AM vuông góc BN
trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là x+2y-2=0 phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là 2x+y+1=0 điểm M(1;2) thuộc đoạn thẳng BC tìm tọa độ điểm D sao cho \(\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}\) có giá trị nhỏ nhất
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-2=0\\2x+y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)\)
Gọi \(\left\{{}\begin{matrix}B\left(2-2b;b\right)\\C\left(c;-2c-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MB}=\left(1-2b;b-2\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(c-1;-2c-3\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(M\in BC\Rightarrow\frac{1-2b}{c-1}=\frac{b-2}{-2c-3}\) \(\Leftrightarrow3bc+7b-5=0\) \(\Rightarrow c=\frac{-7b+5}{3b}\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{10}{3}-2b;b-\frac{5}{3}\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(c+\frac{4}{3};-2c-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right.\) mà AB=AC
\(\Rightarrow\left(\frac{10}{3}-2b\right)^2+\left(b-\frac{5}{3}\right)^2=\left(c+\frac{4}{3}\right)^2+\left(2c+\frac{8}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3b^2-10b+3=3c^2+8c\) (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
\(9b^4-30b^3+16b^2+30b-25=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(9b^2-30b+25\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\b=-1\\b=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-\frac{2}{3}\\c=-4\\c=-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\\C\left(-4;7\right)\\C\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)\equiv A\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)\\C\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\) gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\left(x+\frac{4}{3};y-\frac{5}{3}\right)\\\overrightarrow{CD}=\left(x+\frac{2}{3};y-\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}=\left(x+\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)+\left(y-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)\)
\(P=x^2+2x+\frac{8}{9}+y^2-2y+\frac{5}{9}\)
\(P=\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2-\frac{5}{9}\ge-\frac{5}{9}\)
\(\Rightarrow P_{min}=-\frac{5}{9}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\) hay \(D\left(-1;1\right)\)
TH2: bạn tự giải, thật ra D luôn là trung điểm AC
1. Cho \(\Delta ABC\) . gọi M là điểm thuộc cạnh AB, n là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(AM=\frac{1}{2}AB\) , \(AN=\frac{3}{4}AC\) . gọi O là giao điểm của CM và BN. trên đường thẳng BC lấy E. đặt \(\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{BC}\)
a) Phân tích \(\overrightarrow{AO}\) theo \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\)
b) tìm x để A,E,O thẳng hàng
2. cho tam giác ABC đều cạnh \(2\sqrt{3}\) , d là đường thẳng qua B và tạo với AB 1 góc 600 \(\left(C\notin\Delta\right)\) . tìm GTNN của \(A=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|\)
cho tam giác ABC vuông tại A có AB=1, AC=2. Dựng M sao cho AM=3 và AM vuông góc với BC. Đặt \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\). Tìm x,y
1/ Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và \(\widehat{ABC}=60^o\)
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
b) Tìm vị trí điểm K sao cho \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\).
c) Cho điểm M thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(\left(3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK}\right).\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)=0\). Chứng minh M luôn thuộc 1 đường tròn cố định.
2/ Giải phương trình và hệ phương trình:
a) \(\frac{\sqrt{5x-4x^2}-x}{x-1}=2\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=y^2-x\\x^2-6y=7\end{matrix}\right.\)