Cho (O) đường kính AB. Vẽ Bx là tiếp tuyến với đường tròn. Trên tia Bx lấy M, vẽ tiếp tuyến MC với (O) ( C là tiếp điểm)
a, CN: OM _|_ BC
b, BC cắt OM tại I. Gọi H là trung điểm AC, tia OH cắt MC tại N. Tứ giác OHCI là nhình gì? Vì sao?
Cho (O) đường kính AB. Vẽ Bx là tiếp tuyến với đường tròn. Trên tia Bx lấy M, vẽ tiếp tuyến MC với (O) ( C là tiếp điểm)
a, CN: OM _|_ BC
b, BC cắt OM tại I. Gọi H là trung điểm AC, tia OH cắt MC tại N. Tứ giác OHCI là nhình gì? Vì sao?
a) Xét (O) có
MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
MC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: MB=MC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: MB=MC(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC
hay OM⊥BC(đpcm)
b) Vì OM là đường trung trực của BC nên OM vuông góc với BC tại trung điểm của BC
mà OM cắt BC tại I(gt)
nên I là trung điểm của BC và OI⊥CB tại I
Xét (O) có
AB là đường kính của (O)(gt)
nên O là trung điểm của AB
Xét ΔACB có
H là trung điểm của AC(gt)
O là trung điểm của AB(gt)
Do đó: HO là đường trung bình của ΔACB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HO//CB và \(HO=\dfrac{CB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà I∈CB và \(CI=\dfrac{CB}{2}\)(I là trung điểm của BC)
nên HO//CI và HO=CI
Xét tứ giác OHCI có
HO//CI(cmt)
HO=CI(cmt)
Do đó: OHCI là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành OHCI có \(\widehat{OIC}=90^0\)(OI⊥BC tại I)
nên OHCI là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi H là trung điểm của AC. Tia OH cắt đường tròn (O) tại M. Từ A vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) cắt tia OM tại N.
a) C/m: OM//AB
b) C/m: CN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Giả sử góc B có số đo bằng 60°. Tính diện tích ∆ANC.
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>AB\(\perp\)AC
mà OM\(\perp\)AC
nên OM//AB
b: ΔOAC cân tại O
mà OM là đường cao
nên OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\)
Xét ΔOAN và ΔOCN có
OA=OC
\(\widehat{AON}=\widehat{CON}\)
ON chung
Do đó: ΔOAN=ΔOCN
=>\(\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=90^0\)
=>CN là tiếp tuyến của (O)
c:
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{ABC}=2\cdot60^0=120^0\)
Xét ΔBAC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(\dfrac{AC}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(AC=R\sqrt{3}\)
ΔOAN=ΔOCN
=>NA=NC(1)
Xét tứ giác OANC có
\(\widehat{OCN}+\widehat{OAN}=90^0+90^0=180^0\)
nên OANC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AOC}+\widehat{ANC}=180^0\)
=>\(\widehat{ANC}=180^0-120^0=60^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔNAC đều
=>\(S_{NAC}=\dfrac{AC^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{R^2\cdot3\sqrt{3}}{4}\)
Cho nửa đườmg tròn (O) đường kính AB = 2R, trên nửa đường tròn lấy điểm C
(AC < BC). Gọi M là trung điểm của BC, qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O)
cắt tia OM tại D.
a) Chứng minh AC // OD.
b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Ta có: AC⊥CB
OD⊥CB
Do đó: AC//OD
Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Qua c trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx ở M, tia AC cắt Bx ở N
a) CMR: OM vuông góc vs BC
b) CMR: M là trung điểm BN
c) Kẻ CH vuông góc vs AB, AM cắt CH ở I. CMR I là trung điểm CH
a: Xét (O) có
MC,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MC=MB
=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BC
=>MO\(\perp\)BC
b: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>BC\(\perp\)AC tại C
=>BC\(\perp\)AN tại C
=>ΔBNC vuông tại C
Ta có: \(\widehat{NCM}+\widehat{MCB}=\widehat{NCB}=90^0\)
\(\widehat{CNM}+\widehat{CBM}=90^0\)(ΔNCB vuông tại C)
mà \(\widehat{MCB}=\widehat{MBC}\)
nên \(\widehat{NCM}=\widehat{CNM}\)
=>ΔMNC cân tại M
=>MN=MC
mà MC=MB
nên MN=MB
=>M là trung điểm của BN
c: ta có: CH\(\perp\)AB
NB\(\perp\)BA
Do đó: CH//NB
Xét ΔANM có CI//NM
nên \(\dfrac{CI}{NM}=\dfrac{AI}{AM}\left(3\right)\)
Xét ΔAMB có IH//MB
nên \(\dfrac{IH}{MB}=\dfrac{AI}{AM}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{CI}{NM}=\dfrac{IH}{MB}\)
mà NM=MB
nên CI=IH
=>I là trung điểm của CH
Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Ax, trên Ax lấy điểm M bất kì, kẻ dây AC vuông góc với OM a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tiếp tuyến tại B cắt tia AC tại D. Gọi I là trung điểm của CH, tia AI cắt BD tại N. Chứng minh: N là trung điểm của BD c) Chứng minh: CN là tiếp tuyến của (O)
a: ΔOAC cân tại O có OM là đườg cao
nên OM là phân giác của góc AOC
Xét ΔOAM và ΔOCM có
OA=OC
góc AOM=góc COM
OM chung
=>ΔOAM=ΔOCM
=>góc OCM=90 độ
=>MC là tiếp tuyến của (O)
b: Xét ΔAND vuông tại N và ΔANB vuông tại N có
AN chung
góc NAB=góc NAD
=>ΔAND=ΔANB
=>DN=BN
=>N là trung điểm của BD
c: CN//AB
AB vuông góc CH
=>CN vuông góc CH
=>CN là tiếp tuyến của (O)
cho dường tròn O bán kính R đường kính AB, AC =R
a) chứng minh tam giác ABC vuông
b)tìm số đo góc B của tam giác ABC
c) gọi M là trung điểm của BC. qua vẽ tiếp tuyến Bx với đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia OM tại N.CM NC là tiếp tuyến cảu đường tròn (O)
a) Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)
b) Xét ΔABC vuông tại C có
\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(\widehat{ABC}=30^0\)
Vậy: \(\widehat{ABC}=30^0\)
c)
Xét ΔOBC có OB=OC(=R)
nên ΔOBC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔOBC cân tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)
nên OM là đường phân giác ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)
hay \(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)
Xét ΔBON và ΔCON có
OB=OC(=R)
\(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)(cmt)
ON chung
Do đó: ΔBON=ΔCON(c-g-c)
⇒\(\widehat{OBN}=\widehat{OCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{OBN}=90^0\)(NB⊥OB tại B)
nên \(\widehat{OCN}=90^0\)
hay NC⊥OC tại C
Xét (O) có
OC là bán kính
NC⊥OC tại C(cmt)
Do đó: NC là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M ( M khác A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm ). Kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB). MB cắt đương tròn (O) tại điểm Q ( Q khác B) va cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.
a, C/m: AIQM la tứ giác nội tiếp
b, C/m: OM // BC
c, C/m: tỉ số \(\frac{CH}{CN}\)ko đổi khi M di động trên tia Ax (M khác A)
a) Dễ thấy: góc MQA=90độ
MA, MC là 2 tiếp tuyến nên MO vuông góc với AC hay góc MIA=90 độ
suy ra AIQM là tứ giác nội tiếp
b) AIQM là tứ giác nội tiếp nên: góc IMQ = góc QAI
mà góc QAI = góc QBC nên góc IMQ = góc QBC
Hay OM // BC
Noi QI , IN
vi tu giac AIQM noi tiep => \(\widehat{QIC}=\widehat{AMQ}\),
Lai co \(\widehat{AMQ}=\widehat{HNB}=\widehat{QNC}\left(AM//CH\right)\)
=> Tu giac QINC noi tiep
=>\(\widehat{CIN}=\widehat{CQN}=\widehat{CAB}\Rightarrow IN//AH\)
Ma I la trung diem AC => N la trung diem CH
=> \(\frac{CH}{CN}=2\) khong doi khi M di chuyen tren
dpcm
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa mật phắng chứa nửa đường tròn tâm O có bờ là AB vẽ tia tiếp tuyến Ax. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a. Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Chứng minh: MA2 = MD.MB
c. Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH
a: góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ
=>AD vuông góc MB
Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến
=>MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc AC tại E
góc AEM=góc ADM=90 độ
=>AEDM nội tiếp
b: Xét ΔMAB vuông tại A có AD vuông góc MB
nên MA^2=MD*MB
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) đường kính BC.Gọi H là trung điểm của AC.Tia OH cắt đường tròn (O) tại M.Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia OM tại N.
a.Chứng minh OM // AB.
b.Chứng minh CN là tiếp tuyến của đường tròn (O).