Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a,b,c và trọng tâm G thỏa mãn \(a^2GA^{\rightarrow}+b^2GB^{\rightarrow}+c^2GC^{\rightarrow}=0^{\rightarrow}\). Tam giác ABC là tam giác gì ?
Cho các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”
Q: “Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”
a) Hãy phát biểu các mệnh đề: \(P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P,P \Leftrightarrow Q,\overline P \Rightarrow \overline Q .\) Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề \(P \Rightarrow Q\)
c) Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\). Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.
a)
\(P \Rightarrow Q\): “Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì các cạnh của nó thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”
Mệnh đề này đúng.
\(Q \Rightarrow P\): “Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác ABC vuông tại A”
Mệnh đề này đúng.
\(P \Leftrightarrow Q\): “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A khi và chỉ khi các cạnh của nó thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”
Mệnh đề này đúng do các mệnh đề \(P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P\)đều đúng.
\(\overline P \Rightarrow \overline Q \): “Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì các cạnh của nó thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} \ne B{C^2}\)”
Mệnh đề này đúng.
b) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) có thể phát biểu là:
“Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”
“Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) là điều kiện cần để tam giác ABC vuông tại A”
c)
X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A.
Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\).
Dễ thấy: \(X \subset Y\) do các tam giác ABC vuông thì đều có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\).
Ta chứng minh: Nếu tam giác ABC có trung tuyến \(AM = \frac{1}{2}BC\) thì tam giác ABC vuông tại A.
Thật vậy, \(BM = MC = AM = \frac{1}{2}BC\) suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC, ngoại tiếp tam giác ABC.
\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.
Do đó \(Y \subset X\)
Vậy \(X = Y\)
Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng \(P \Rightarrow Q\) như sau:
“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.
Phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\).
P: “tam giác ABC vuông tại A”
Q: “tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”
+) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là “Nếu tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)thì tam giác ABC vuông tại A”
+) Từ định lí Pytago, ta có:
Tam giác ABC vuông tại A thì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
Và: Tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì vuông tại A.
Do vậy, hai mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” và “\(Q \Rightarrow P\)” đều đúng.
Xét hai mệnh đề:
P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”.
Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.
a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).
b) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo cách khác nhau.
a) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau”
b) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng nên nó là một định lí. Hai cách phát biểu định lí là:
Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích bằng nhau.
Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau.
Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC đều”
Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”,
Hãy phát biểu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.
Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.
+) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là: “Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”.
+) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\) suy ra tam giác ABC đều”.
Dễ thấy cả hai mệnh đề trên đều đúng.
+) Mệnh đề tương đương: (dùng một trong các cách sau:)
“Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”
“Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”
“Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”
“Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB>AC, M là một điểm tùy ý trên cạnh BC . Qua điểm M, kẻ Mx vuông góc với BC . Tia Mx cắt AB tại I cắt AC tại D.
a/ Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC
b/ Chứng minh rằng BI.BA=BM.BC
c/ CI cắt BD tại K . Chứng minh BI.BA+CI.CK không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
d/ Cho \(\widehat{ACB}=60^o\), tính \(\frac{S_{CMA}}{S_{CDB}}\)
Mình đã lm đc câu a vs câu c ntn:
a/ Vì \(Mx\perp BC\)tại M (gt)
\(\Rightarrow\) \(DM\perp BC\)tại M ( \(D\in Mx\) )
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DMC}=90^o\) ( tính chất )
\(\Rightarrow\) Tam giác MDC vuông tại M ( định nghĩa )
Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác MDC vuông tại M có:
\(\widehat{C}\)chung
Vậy tam giác ABC ~ tam giác MDC ( 1 góc nhọn )
b/ Vì \(\widehat{DMC}=90^o\) ( chứng minh trong câu a )
\(\Rightarrow\)\(\widehat{DMB}=90^o\) ( 2 góc kề bù )
hay \(\widehat{IMB}=90^o\) ( \(I\in MD\))
\(\Rightarrow\)Tam giác MBI vuông tại M ( định nghĩa )
Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác MBI vuông tại M có:
\(\Rightarrow\widehat{ABC}\left(\widehat{MBI}\right)\)chuing
Vậy tam giác ABC ~ tam giác MBI ( góc nhọn )
\(\Rightarrow\frac{BA}{BM}=\frac{BC}{BI}\)( 2 cặp cạnh tương ứng )
\(\Leftrightarrow BI.BA=BM.BC\)
Đó là những gì mình lm đc nên các bn giúp mk câu c vs d nhé !!!
Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC. CA , AB lần lượt tại M , N , P.CM : a\(IM^{\rightarrow}\)+b\(IN^{\rightarrow}\)+c\(IP^{\rightarrow}\)=\(0^{\rightarrow}\)
\(\rightarrow\) Gấp Ạ!
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh : tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp đường tròn
b) Đường thẳng AO cắt đưởng tròn tâm O tại K khác điểm A . Gọi I là giao điểm của 2 đường thẳng HK và BC . Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC
c) Tính : AH/AD + BH/BE + CH/CF ( bỎ QUA phần này cũng đc ạ )
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔABK vuông tại B
=>BK//CH
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔACK vuông tại C
=>CK//BH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BC
Cho tam giác ABC, A(4;0) B(2;-4) C(0;-2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. GỌi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh tam giác ABC, tam giác MNP có cùng trọng tâm
Tọa độ G là;
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)
Tọa độ M là:
x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3
Tọa độ N là:
x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1
Tọa độ P là;
x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2
Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)
=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm
Bài 1.CHo tam giác nhọn ABC có các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H
1. Chứng minh tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) :
\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\) (\(=90^o\) )
\(\widehat{A}\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ACF\left(g.g\right)\)
2.Chứng minh \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Vì tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF ( cmt )
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AE}\)
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:
\(\widehat{A}\) chung
\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AE}\) (cmt )
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) ( hai góc t/ứ)
3.Vẽ DM vuông gosc với AC tại M . Gọi K là giao điểm của CH và DM . Chứng minh \(\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{DK}{MK}\) và \(AH.AD+CH.CF=\dfrac{CD^4}{CM^2}\)
Bài 2 : Cho ba số \(x,y,z\) khác 0 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) . Tính giá trị của biểu thức \(P=\dfrac{2017}{3}xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)
\(BE||DM\) (cùng vuông góc AC)
Theo định lý Talet: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MK}{EH}=\dfrac{CK}{CH}\\\dfrac{DK}{BH}=\dfrac{CK}{CH}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{MK}{EH}=\dfrac{DK}{BH}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{DK}{MK}\)
Hai tam giác vuông AHE và ACD đồng dạng (chung góc A) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AH.AD=AC.AE\)
Tương tự CHE đồng dạng CAF \(\Rightarrow\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{CE}{CF}\Rightarrow CH.CF=AC.CE\)
\(\Rightarrow AH.AD+CH.CF=AC.AE+AC.CE=AC\left(AE+CE\right)=AC^2\) (1)
Lại có 2 tam giác vuông ACD và DCM đồng dạng (chung góc C)
\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{CD}{CM}\Rightarrow AC=\dfrac{CD^2}{CM}\Rightarrow AC^2=\dfrac{CD^4}{CM^2}\) (2)
(1); (2) suy ra đpcm
2.
\(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{3}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-\dfrac{3}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)
\(=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^3-\dfrac{3}{xy}\left(-\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)
\(=\left(-\dfrac{1}{z}\right)^3+\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}\)
\(=-\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)
Do đó:
\(P=\dfrac{2017}{3}xyz.\dfrac{3}{xyz}=2017\)