cm phản chứng nếu \(a_1a_2\)≥ 2(\(b_1+b_2\)) thì ít nhất 1 trong 2 phương trình \(x^2+a_1x+b_1=0,x^2+a_2x+b_2=0\) có nghiệm
Cho phương trình: \(x^2+a_1x+b_1=0\left(1\right)\) ; \(x^2+a_2x+b_2=0\left(2\right)\). Cho biết \(a_1a_2\ge2\left(b_1+b_2\right)\). Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm
Giả sử 2 phương trình đã cho đều vô nghiệm
=> \(\Delta_1< 0\Leftrightarrow a_1^2-4b_1< 0\Leftrightarrow a_1^2< 4b_1\)
\(\Delta_2< 0\Leftrightarrow a_2^2-4b_2< 0\Leftrightarrow a_2^2< 4b_2\)
\(\Rightarrow a_1^2+a_2^2< 4\left(b_1+b_2\right)\)(1)
Lại có: \(a_1.a_2\ge2\left(b_1+b_2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a_1.a_2\ge4\left(b_1+b_2\right)\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a_1^2+a_2^2< 2a_1a_2\) (3)
Mặt khác:\(\left(a_1-a_2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2\ge2a_1_1b_1\)trái với (3)
=> giả sử sai
=> ít nhất một trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.
Sai thì thôi nhé~
Cho hai phương trình:
\(x^2-a_1x+b_1=0\)
\(x^2+a_2x+b_2=0\)
thỏa mãn: \(a_1,a_2\ge2\left(b_1+b_2\right)\)
Chứng minh: ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
1. Giải phương trình
\(x^4+2x^3+2x^2+x+6=0\)
2. Cho phương trình \(x^2+a_1x+b_1=0\left(1\right)\)
\(x^2+a_2x+b_2=0\left(2\right)\)
Chứng minh rằng nếu \(a_1^2+a^2_2\ge4\left(b_1+b_2\right)\)
thì (1) và (2) luôn có nghiệm
Câu 1 : Ta có :\(x^4+2x^3+2x^2+x+6\)
\(=x^4+2x^3+x^2+x^2+x+6\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}>0\)
Vì \(VT>0\) nên phương trình vô nghiệm .
Câu 2 : Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=a_1^2-4b_1\\\Delta_2=a_2^2-4b_2\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a_1^2+a_2^2-4\left(b_1+b_2\right)\)
Mà : \(a_1^2+a_2^2\ge4\left(b_1+b_2\right)\Leftrightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge0\)
Nên hai phương trình luôn có nghiệm
cho 2 pt: \(x^2+a_1x+b_1=0\) (1)
\(x^2+a_2x+b_2=0\) (2)
Cho biết \(a_1a_2\ge2\left(b_1+b_2\right)\). CM ít nhất 1 trong 2 pt đã cho có nghiệm
\(\left(1\right)\) có \(\Delta'=a1^2-4b1\)
(2) có \(\Delta''\) = \(a2^2-4b2\)
Xét \(\Delta'+\Delta''=a1^2+a2^2-4\left(b1+b2\right)\ge a1^2+a2^2-2\cdot a1a2=\left(a1-a2\right)^2\ge0\)
=> \(\Delta'+\Delta''\ge0\)
=> \(\Delta'\ge0or\Delta''\ge0or\Delta'\ge0;\Delta''\ge0\)
=> ít nhất 1 trong hai pt luôn có n*
Xét den-ta1+denta 2=a1-4b1+a2^2-4b2=a1^2+a2^2-4(b1+b2)>=a1^2+a2^2-2*a1*a2
(vì a1a2 > 2(b1 + b2)).
Mà a1^2+a2^2-2a1*a2=(a1-a2)^2 > 0
=> Tồn tại denta1 hoặc denta2 không âm => ít nhất một trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.
chu y:a1=a1;a2=a2;b2=b2;b1=b1
cho khai triển \(\left(\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\right)^{2020}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2020}x^{2020}+\dfrac{b_1}{x+1}+\dfrac{b_2}{\left(x+1\right)^2}+...+\dfrac{b_{2020}}{\left(x+1\right)^{2020}}\) tính tổng \(S=b_1+b_2+...+b_{2020}\)
Giả sử phương trình \(x^2+px+1=0\)có nghiệm là \(a_1;a_2\), phương trình \(x^2+qx+1=0\) có nghiệm \(b_1,b_2\)Chứng minh \(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_1\right)\left(a_1+b_2\right)\left(a_2+b_2\right)=q^2-p^2\)
Theo vi ét:
\(\hept{\begin{cases}a_1a_2=1\\a_1+a_2=-p\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}b_1b_2=1\\b_1+b_2=-q\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_1\right)\left(a_1+b_2\right)\left(a_2+b_2\right)\)
\(=\left(a_1a_2+b_1^2-a_1b_1-a_2b_1\right)\left(a_1a_2+a_2b_2+b_2^2+a_1b_2\right)\)
\(=\left(1+b_1^2+pb_1\right)\left(1+b_2^2-pb_2\right)\)
\(=1+b_2^2-pb_2+b_1^2+b_1^2b_2^2-pb_1^2b_2+pb_1+pb_1b_2^2-p^2b_1b_2\)
= \(1+b_1^2+b_2^2-pb_2-pb_1+1+pb_1+pb_2-p^2\)
\(=2+\left(b_1+b_2\right)^2-2b_1b_2-p^2\)
\(=q^2-p^2\)
Cho hệ: \(\hept{\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}}\)
CMR:
a)Hệ có vô số ngiệm khi : \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
b)Hệ vô nghiệm khi:\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)
c)Hệ có nghiệm duy nhất khi: \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)
Với x\(\ne-1\) \(\left(\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\right)^{2018}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^{2018}+\dfrac{b_1}{x+1}+\dfrac{b_2}{\left(x+1\right)^2}+...+\dfrac{b_{2018}}{\left(x+1\right)^{2018}}.\). Tính: S=\(\sum\limits^{2018}_{k=1}bx\)
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (\({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0\)) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) \(\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 > 0} \right)\)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Tìm tọa độ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \)và tính \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\)
+) Từ phương trình \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) là \(\left( {{a_1};{b_1}} \right)\)
+) Từ phương trình \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_2}} \) là \(\left( {{a_2};{b_2}} \right)\)
+) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)