Đề lạ thế bạn ơi! Vế trái luôn không âm mà vế phải luôn không dương nên đây là điều hiển nhiên.

Mình nghĩ đề phải chứng minh thế này:

\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

Nếu thế thì cách làm như sau:

Ta có: Do x, y, z không âm nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2\sqrt{xy}\ge0\\y+z-2\sqrt{yz}\ge0\\z+x-2\sqrt{xz}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)

​\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\left(đpcm\right)\)​

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

bài của tui mà -_-

hihi k biết làm nên đăng ^^

Cách này đòi hỏi sự kiên nhẫn và kinh nghiệm.

Cần chứng minh:

\({\dfrac {4 \left( xy+zx+yz \right) \left( x+y+z \right) ^{7}}{ 243}}- \left( {x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} \right) \left( {x}^{3}{y}^{3}+{ x}^{3}{z}^{3}+{y}^{3}{z}^{3} \right) \geqslant 0.\quad(1) \) 

Đặt 

\(\text{M}=4\,{z}^{7}+ \left( 757\,x+757\,y \right) {z}^{6}+84\, \left( x+y \right) ^{2}{z}^{5}+140\, \left( x+y \right) ^{3}{z}^{4}\\\quad\quad+ \left( 1598 \,{x}^{4}+4205\,{x}^{3}y+4971\,{x}^{2}{y}^{2}+4205\,x{y}^{3}+1598\,{y} ^{4} \right) {z}^{3}\\\quad \quad+84\, \left( x+y \right) ^{5}{z}^{2}+28\, \left( x +y \right) ^{6}z\geqslant 0 \)

Ta có:

\((1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{243}xy\cdot M+{\dfrac { \left( x+y \right) \left( {x}^{2}+11\,xy+{y}^{2} \right) \left( 2\,x-y \right) ^{2} \left( x-2\,y \right) ^{2}xy}{243}}\\\quad\quad+{ \dfrac { \left( x+y \right) z \left( x+y+z \right) \left( {x}^{2}+2\,x y+11\,zx+{y}^{2}+11\,yz+{z}^{2} \right) \left( 2\,y-z+2\,x \right) ^{ 2} \left( y-2\,z+x \right) ^{2}}{243}}\geqslant 0. \)

Đẳng thức xảy ra khi $...$

\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)

\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)

Lời giải:
BĐT cần chứng mình tương đương với:

$(xy+yz+xz)^2\geq 3(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2xyz(x+y+z)\geq 3xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2\geq xyz(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2-xyz(x+y+z)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(xy)^2+2(yz)^2+2(xz)^2-2xyz(x+y+z)\geq 0$

$\Leftrightarrow (xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2\geq 0$

(luôn đúng với mọi $x,y,z\geq 0$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

chứng minh cái gì đấy hả bạn ơi ?

akl quên vế sau

bài này tao nhớ là đã từng xem qua nhưng h ko nhớ cho rõ nx