Cho các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC cân tại A sao cho tứ giác MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh \(\widehat{OMP}\)= \(\widehat{AMN}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho các điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC cân tại A sao cho MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của CP và BN. Chứng minh \(\widehat{OMP}=\widehat{AMN}\)
Cho tam giác ABC. Xét các điểm M thuộc BC, N thuộc CA và P thuộc AB sao cho tứ giác APMN là một hình bình hành. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng BN và CP. Xác định vị trí hình học của điểm M trên cạnh BC sao cho góc PMO= góc OMP
Gọi D là đỉnh thức tư của hình bình hành ABDC. Khi đó, O, M, D thẳng hàng.
Do giả thiết nên DB//MP, DC//MN. Từ đó, do O, M, D thẳng hàng, nên góc PMO = góc OMN <=> OM là phân giác góc PMN <=> DM là phân giác góc BDC
\(\Leftrightarrow\frac{MB}{MC}=\frac{DB}{DC}\)
Nhưng tứ giác ABDC là một hình bình hành nên BD = AC, CD = AB
do đó : \(\frac{DB}{DC}=\frac{AC}{AB}\)
Vì vậy :
góc PMO bằng góc OMN \(\Leftrightarrow\frac{MB}{MC}=\frac{AC}{AB}\)
Vậy với M là điểm trên cạnh BC sao cho \(\frac{MB}{MC}=\frac{AC}{AB}\) (hay M đối xứng với chân phân giác trong góc BAC qua trung điểm cạnh BC) thì góc PMO bằng góc OMN => Điều cần chứng minh
Đúng 1
Bình luận (2)
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , có đường cao AH. Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh BC. Điểm D và E lần lượt thuộc cạnh AB và AC sao cho tứ giác ADME là hình bình hành. Gọi I là giao điểm của BE và CD.a) Chứng minh rằng : widehat{DMI}widehat{AME}b) Chứng minh rằng đường thẳng MI luôn luôn đi qua 1 điểm cố định .P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ, em cám ơn nhiều lắm ạ!
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , có đường cao AH. Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh BC. Điểm D và E lần lượt thuộc cạnh AB và AC sao cho tứ giác ADME là hình bình hành. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
a) Chứng minh rằng : \(\widehat{DMI}=\widehat{AME}\)
b) Chứng minh rằng đường thẳng MI luôn luôn đi qua 1 điểm cố định .
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán giúp đỡ, em cám ơn nhiều lắm ạ!
Cho các điểm M, N, P thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC cân tại A sao cho tứ giác MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh rằng góc ∠OMP = ∠AMN
Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM BN CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.a) Tính số đo góc
M
A
O
^
.b) Chứng minh
∆
M
A
O
∆
O
P
C
.
c) Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.
Đọc tiếp
Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
a) Tính số đo góc M A O ^ .
b) Chứng minh ∆ M A O = ∆ O P C .
c) Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.
Cho tam giác đều ABC trên các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự lấy 3 điểm M, N, P sao cho AM=BN=CP.
a) Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
b) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng OM=ON=OP từ đó suy ra O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP
Cho tam giác ABC. Gọi N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng NP, BP, NC. Chứng minh: a) Tứ giác IJPK là hình bình hành. b) Tứ giác IJKQ là hình bình hành. c) K là trung điểm của PQ.
a: Xét ΔNPC có I,K lần lượt là trung điểm của NP,NC
=>IKlà đường trung bình của ΔNPC
=>IK//PC và IK=PC/2
IK//PC
\(J\in PC\)
Do đó: IK//JP
IK=PC/2
PC=PB
\(JP=\dfrac{BP}{2}\)
Do đó: IK=JP
Xét tứ giác IKPJ có
IK//PJ
IK=PJ
Do đó: IKPJ là hình bình hành
b: Xét ΔACN có
K,Q lần lượt là trung điểm của CN,CA
=>KQ là đường trung bình của ΔACN
=>KQ//AN và \(KQ=\dfrac{AN}{2}\)
Xét ΔPNB có
I,J lần lượt là trung điểm của PN,PB
=>IJ là đường trung bình của ΔPNB
=>IJ//NB và \(JI=\dfrac{NB}{2}\)
JI//NB
KQ//AN
A,N,B thẳng hàng
Do đó: JI//KQ
\(JI=\dfrac{BN}{2}\)
\(KQ=\dfrac{AN}{2}\)
mà BN=AN
nên JI=KQ
Xét tứ giác QKJI có
QK//JI
QK=JI
Do đó: QKJI là hình bình hành
c: KQ//AN
N\(\in\)AB
Do đó: KQ//AB
KP//AB
KQ//AB
KQ,KP có điểm chung là K
Do đó: Q,K,P thẳng hàng
\(QK=\dfrac{AN}{2}\)
\(PK=\dfrac{BN}{2}\)
mà AN=BN
nên QK=PK
mà Q,K,P thẳng hàng
nên K là trung điểm của PQ
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC sao cho tồn tại các điểm M,N lần lượt trên 2 cạnh AB,BC sao cho 2\(\frac{BM}{AN}\)=\(\frac{BN}{CN}\)và\(\widehat{BNM}\)=\(\widehat{ANC}\).Gọi P là trung điểm AM,Q là giao điểm AN với CP.
a,Chứng minh MN // CP
b,Chứng minh tam giác AQC cân tại Q
c,Chứng minh tam giác ABC vuông tại C
Cho tam giác ABC. Xét các điểm M thuộc BC, N thuộc CA và P thuộc AB sao cho tứ giá APMN là một hình bình hành. Các đường thẳng BN và CP cắt nhau tại O. Chứng minh rằng đường thẳng OM luôn đi qua 1 điểm cố định.
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\)
Do B. M, C thẳng hàng theo thứ tự, nên tồn tại n, p > 0 sao cho \(\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\) với \(n+p=1\)
Từ đó, do tứ giác ANMP là hình bình hành, nên \(\overrightarrow{AP}=p\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{c}\)
Do B, O, N thẳng hàng và C, O, P thẳng hàng nên
\(\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{b}+ny\overrightarrow{c}=z\overrightarrow{c}+pt\overrightarrow{b}\)
trong đó \(x+y=1=z+t\)
Từ đó, do hai vectơ \(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không cùng phương nên \(x=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}\) và \(y=\frac{1-p}{1-np}\)
Do đó :
\(\overrightarrow{AO}=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}.\overrightarrow{b}+\frac{n\left(1-p\right)}{1-np}.\overrightarrow{c}\)
Suy ra :
\(\left(1-np\right).\overrightarrow{OM}=\left(1-np\right)\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}\right)=np\left(1-p\right)\overrightarrow{b}+np\left(1-n\right)\overrightarrow{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1-np}{np}.\overrightarrow{OM}=\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)-\left(n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\right)\)
Hay
\(\overrightarrow{AM}=np\overrightarrow{AD}+\left(1-np\right)\overrightarrow{AO}\)
Trong đó D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) Từ đó, đường thẳng OM luôn đi qua D cố định (D là đỉnh thứ tư của hình bình hàng ABDC)
Đúng 0
Bình luận (0)