Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Guyo

Cho tam giác ABC. Xét các điểm M thuộc BC, N thuộc CA và P thuộc AB sao cho  tứ giá APMN là một hình bình hành. Các đường thẳng BN và CP cắt nhau tại O. Chứng minh rằng đường thẳng OM luôn đi qua 1 điểm cố định.

Mai Linh
19 tháng 3 2016 lúc 9:56

A B C D M N P O b c

Mai Linh
19 tháng 3 2016 lúc 10:08

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\)\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\) 

Do B. M, C thẳng hàng theo thứ tự, nên tồn tại n, p > 0 sao cho \(\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\) với \(n+p=1\)

Từ đó, do tứ giác ANMP là hình bình hành, nên \(\overrightarrow{AP}=p\overrightarrow{b}\)\(\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{c}\)

Do B, O, N thẳng hàng và C, O, P thẳng hàng nên 

\(\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{b}+ny\overrightarrow{c}=z\overrightarrow{c}+pt\overrightarrow{b}\)

trong đó \(x+y=1=z+t\)

Từ đó, do hai vectơ \(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không cùng phương nên \(x=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}\) và \(y=\frac{1-p}{1-np}\)

Do đó :

\(\overrightarrow{AO}=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}.\overrightarrow{b}+\frac{n\left(1-p\right)}{1-np}.\overrightarrow{c}\)

Suy ra :

\(\left(1-np\right).\overrightarrow{OM}=\left(1-np\right)\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}\right)=np\left(1-p\right)\overrightarrow{b}+np\left(1-n\right)\overrightarrow{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1-np}{np}.\overrightarrow{OM}=\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)-\left(n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\right)\)

Hay

\(\overrightarrow{AM}=np\overrightarrow{AD}+\left(1-np\right)\overrightarrow{AO}\)

Trong đó D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) Từ đó, đường thẳng OM luôn đi qua D cố định (D là đỉnh thứ tư của hình bình hàng ABDC)

 


Các câu hỏi tương tự
Đỗ Hạnh Quyên
Xem chi tiết
Hoa Thiên Lý
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
Nguyễn Bình Nguyên
Xem chi tiết
Đặng Minh Quân
Xem chi tiết
Nhật Ánh Nguyễn
Xem chi tiết
Phạm Thái Dương
Xem chi tiết
Trần Khánh Vân
Xem chi tiết
Linh Nguyễn
Xem chi tiết