TÍnh tổng các nghiệm của phương trình: \(8\cos x\cos2x\left(2\cos^22x-1\right)=1\) trên đoạn \(\left[-\pi;2\pi\right]\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos^22x+5\cos2x-3=0\) trong khoảng \(\left(0;2\pi\right)\)
Lời giải:
$2\cos ^22x+5\cos 2x-3=0$
$\Leftrightarrow (2\cos 2x-1)(\cos 2x+3)=0$
$\Leftrightarrow 2\cos 2x-1=0$ (chọn) hoặc $\cos 2x=-3$ (loại)
Vậy $2\cos 2x-1=0$
$\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{\pm \pi}{3}+2k\pi$ với $k$ nguyên
Để nghiệm trong khoảng $(0;2\pi)$ thì $k=0$ với họ nghiệm $(1)$ và $k=1$ với họ nghiệm $(2)$
Vậy nghiệm của pt thỏa đề là:
$x=\frac{\pi}{3}; x=\frac{5}{3}\pi$
Tổng nghiệm: $\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}=2\pi$
Tìm nghiệm của các phương trinh:
1,\(\left(sinx+\dfrac{sin3x+cos3x}{1+2sin2x}\right)=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
2,\(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}\left(1+cot2xcotx\right)=0\)
3,\(cos^4x+sin^4x+cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{3}{2}=0\)
4,\(cos5x+cos2x+2sin3xsin2x=0\) trên \(\left[0;2\pi\right]\)
5,\(\dfrac{cos\left(cosx+2sinx\right)+3sinx\left(sinx+\sqrt{2}\right)}{sin2x-1}=1\)
6,\(\left(sinx+\dfrac{sin3x+cos3x}{1+2sin2x}\right)=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
7,\(cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+4sinx=2+\sqrt{2}\left(1-sinx\right)\)
1, \(\left(sinx+\dfrac{sin3x+cos3x}{1+2sin2x}\right)=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
⇔ \(\dfrac{sinx+2sinx.sin2x+sin3x+cos3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
⇔ \(\dfrac{sinx+2sinx.sin2x+sin3x+cos3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
⇔ \(\dfrac{sinx+cosx-cos3x+sin3x+cos3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
⇔ \(\dfrac{sinx+cosx+sin3x}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
⇔ \(\dfrac{2sin2x.cosx+cosx}{1+2sin2x}=\dfrac{3+cos2x}{5}\)
⇔ \(\dfrac{cosx\left(2sin2x+1\right)}{1+2sin2x}=\dfrac{2+2cos^2x}{5}\)
⇒ cosx = \(\dfrac{2+2cos^2x}{5}\)
⇔ 2cos2x - 5cosx + 2 = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cosx=2\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
⇔ \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k.2\pi\) , k là số nguyên
2, \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}.\left(1+cot2x.cotx\right)=0\)
⇔ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}.\dfrac{cos2x.cosx+sin2x.sinx}{sin2x.sinx}=0\)
⇔ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2}{sin^2x}.\dfrac{cosx}{sin2x.sinx}=0\)
⇔ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{2cosx}{2cosx.sin^4x}=0\)
⇒ \(48-\dfrac{1}{cos^4x}-\dfrac{1}{sin^4x}=0\). ĐKXĐ : sin2x ≠ 0
⇔ \(\dfrac{1}{cos^4x}+\dfrac{1}{sin^4x}=48\)
⇒ sin4x + cos4x = 48.sin4x . cos4x
⇔ (sin2x + cos2x)2 - 2sin2x. cos2x = 3 . (2sinx.cosx)4
⇔ 1 - \(\dfrac{1}{2}\) . (2sinx . cosx)2 = 3(2sinx.cosx)4
⇔ 1 - \(\dfrac{1}{2}sin^22x\) = 3sin42x
⇔ \(sin^22x=\dfrac{1}{2}\) (thỏa mãn ĐKXĐ)
⇔ 1 - 2sin22x = 0
⇔ cos4x = 0
⇔ \(x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{4}\)
3, \(sin^4x+cos^4x+sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{3}{2}=0\)
⇔ \(\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x+\dfrac{1}{2}sin\left(4x-\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{3}{2}=0\)
⇔ \(1-\dfrac{1}{2}sin^22x+\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos4x-\dfrac{3}{2}=0\)
⇔ \(\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos4x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}sin^22x=0\)
⇔ sin2x - sin22x - (1 + cos4x) = 0
⇔ sin2x - sin22x - 2cos22x = 0
⇔ sin2x - 2 (cos22x + sin22x) + sin22x = 0
⇔ sin22x + sin2x - 2 = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin2x=1\\sin2x=-2\end{matrix}\right.\)
⇔ sin2x = 1
⇔ \(2x=\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
4, cos5x + cos2x + 2sin3x . sin2x = 0
⇔ cos5x + cos2x + cosx - cos5x = 0
⇔ cos2x + cosx = 0
⇔ \(2cos\dfrac{3x}{2}.cos\dfrac{x}{2}=0\)
⇔ \(cos\dfrac{3x}{2}=0\)
⇔ \(\dfrac{3x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
⇔ x = \(\dfrac{\pi}{3}+k.\dfrac{2\pi}{3}\)
Do x ∈ [0 ; 2π] nên ta có \(0\le\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\le2\pi\)
⇔ \(-\dfrac{1}{2}\le k\le\dfrac{5}{2}\). Do k là số nguyên nên k ∈ {0 ; 1 ; 2}
Vậy các nghiệm thỏa mãn là các phần tử của tập hợp
\(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
5, \(\dfrac{cos^2x+sin2x+3sin^2x+3\sqrt{2}sinx}{sin2x-1}=1\)
⇒ \(cos^2x+sin2x+3sin^2x+3\sqrt{2}sinx=sin2x-1\)
⇒ cos2x + 3sin2x + 3\(\sqrt{2}\)sin2x + 1 = 0
⇔ 2 + 2sin2x + 3\(\sqrt{2}\)sin2x = 0
⇔ 2 + 1 - cos2x + 3\(\sqrt{2}\) sin2x = 0
⇔ \(3\sqrt{2}sin2x-cos2x=-1\)
Còn lại tự giải
7, \(cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+4sinx=2+\sqrt{2}\left(1-sinx\right)\)
⇔ \(2cos2x.cos\dfrac{\pi}{4}+4sinx=2+\sqrt{2}\left(1-sinx\right)\)
⇔ \(\sqrt{2}cos2x+4sinx=2+\sqrt{2}-\sqrt{2}sinx\)
Dùng công thức : cos2x = 1 - 2sin2x đưa về phương trình bậc 2 ẩn sinx
Nghiệm của phương trình : \(cos^4x-cos2x+2sin^6x=0\)
Tổng các nghiệm phương trình \(cos4x=cos^23x\) trong khoảng \(\left(-\pi;\pi\right)\)
Tìm m để phương trình \(cos2x-\left(2m+1\right)cosx+m+1=0\) có nghiệm \(x\in\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\)
a/
\(cos^4x-\left(1-2sin^2x\right)+2sin^6x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos^2x+1\right)\left(cos^2x-1\right)+2sin^2x\left(sin^4x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-sin^2x\left(cos^2x+1\right)+2sin^2x\left(sin^4x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow sin^2x\left(2sin^4x-cos^2x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow sin^2x\left(2sin^4x+sin^2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow sin^4x\left(2sin^2x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow sinx=0\)
\(\Leftrightarrow x=k\pi\)
b/
\(cos4x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos6x\)
\(\Leftrightarrow2\left(2cos^22x-1\right)=1+4cos^32x-3cos2x\)
\(\Leftrightarrow4cos^32x-4cos^22x-3cos2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(4cos^22x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(2cos4x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=1\\cos4x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\\x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;-\frac{11\pi}{12};-\frac{5\pi}{12};\frac{\pi}{12};\frac{7\pi}{12};-\frac{7\pi}{12};-\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{11\pi}{12}\right\}\)
Bạn tự cộng lại
c/
\(\Leftrightarrow2cos^2x-1-\left(2m+1\right)cosx+m+1=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-cosx-2mcosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(2cosx-1\right)-m\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-m\right)\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\frac{1}{2}\\cosx=m\end{matrix}\right.\)
Do \(cosx=\frac{1}{2}\) vô nghiệm trên \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi \(cosx=m\) có nghiệm trên khoảng đã cho
Mà \(-1< cosx< 0\Rightarrow-1< m< 0\)
1.giải pt \(\left(1+\tan x\right)\cos^3x+\left(1+\cot x\right)\sin^3x=\sqrt{2\sin2x}\)
2.tìm các nghiệm trong khoảng \(\left(-\pi;\pi\right)\) của phương trình
\(2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}\)
Bài 1:
ĐK : sinx cosx > 0
Khi đó phương trình trở thành
sinx+cosx=\(2\sqrt{\sin x\cos x}\)
ĐK sinx + cosx >0 → sinx>0 ; cosx>0
Khi đó \(2\sqrt{\sin x\cos x}\Leftrightarrow2\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)
Vậy ...
Bài 2:
ĐK : \(\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\ge0\)
Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin2x=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)
Trong khoảng từ \(\left(-\pi,\pi\right)\) ta nhận được các giá trị :
\(x=\frac{\pi}{12}\) (TMĐK)
\(x=-\frac{11\pi}{12}\) (KTMĐK)
\(x=\frac{5\pi}{12}\) (KTMĐK)
\(x=-\frac{7\pi}{12}\) (TMĐK)
Vậy ta có 2 nghiệm thõa mãn \(x=\frac{\pi}{12}\) và \(x=-\frac{7\pi}{12}\)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt{3}.sin2x-cos2x\)
\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt[]{3}sin2x-cos2x\)
\(\Leftrightarrow4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left[sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}+x-\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}-x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2.\left[\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.sin2x-\dfrac{1}{2}.cos2x\right]\)
\(\Leftrightarrow2\left[sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2.2sin2x.cos\dfrac{\pi}{6}=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2.2sin2x.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{3}sin2x.=m^2+2\)
\(\Leftrightarrow sin2x.=\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
\(\left|\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\right|\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\ge-1\\\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\ge-2\left(1+\sqrt[]{3}\right)\left(luôn.đúng\right)\\m^2\le2\left(1-\sqrt[]{3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\le m\le\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\)
phương trình \(\cos x-\sin3x=\sqrt{2}\left(\cos x-\sin x\right)\sin4x\) có tổng tất cả các nghiệm \(x\in\left(0;\pi\right)\) là?
\(cosx-\left(3sinx-4sin^3x\right)=\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)sin4x\)
\(\Leftrightarrow cosx-sinx+2sinx\left(2sin^2x-1\right)=\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)sin4x\)
\(\Leftrightarrow cosx-sinx-2sinx\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)=\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)sin4x\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(1-2sinx\left(sinx+cosx\right)-\sqrt{2}sin4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(1-2sin^2x-2sinx.cosx-\sqrt{2}sin4x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(cos2x-sin2x-\sqrt{2}sin4x=0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left[sin\left(\dfrac{\pi}{4}-2x\right)-sin4x\right]=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
Tìm các nghiệm của phươn trình
\(\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\) trên \(\left[0;2\pi\right]\)
\(\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\pm\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{12}+k2\pi\\x=-\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(0\le-\dfrac{\pi}{12}+k2\pi\le2\pi\Leftrightarrow...\)
\(0\le-\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi\le2\pi\Leftrightarrow...\)
\(sinx+4cosx=2+sin2x\)
\(\left(1-sin2x\right)\left(sinx+cosx\right)=cos2x\)
\(1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0\)
\(sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x\)
\(sin^22x-cos^28x=sin\left(\dfrac{17\pi}{2}+10x\right)\)
Giải PT
a1) \(3.\cos4x-2^{ }\cos^23x=1\)
a2) \(2\cos2x-8\cos x+7=\dfrac{1}{\cos x}\)
a3) \(\dfrac{\left(1+\sin x+\cos2x\right)\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}{1+\tan x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x\)
a4) \(9\sin x+6\cos x-3\sin2x+\cos2x=8\)
a) Pt \(\Leftrightarrow3.cos4x-\left(cos6x+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3cos4x-cos6x-2=0\)
Đặt \(t=2x\)
Pttt:\(3cos2t-cos3t-2=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(2cos^2t-1\right)-\left(4cos^3t-3cost\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow-4cos^3t+6cos^2t+3cost-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cost=1\\cost=\dfrac{1+\sqrt{21}}{4}\left(vn\right)\\cost=\dfrac{1-\sqrt{21}}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=k2\pi\\t=\pm arc.cos\left(\dfrac{1-\sqrt{21}}{4}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\pm\dfrac{1}{2}.arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{21}}{4}\right)+k\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))
Vậy...
a2) \(2cos2x-8cosx+7=\dfrac{1}{cosx}\) (ĐK: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\))
\(\Leftrightarrow2.\left(2cos^2x-1\right)-8cosx+7=\dfrac{1}{cosx}\)
\(\Leftrightarrow2.\left(2cos^2x-1\right)cosx-8cos^2x+7cosx=1\)
\(\Leftrightarrow4cos^3x-8cos^2x+5cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (tm) (\(k\in Z\))
Vậy...
a3) Đk: \(x\ne-\dfrac{\pi}{4}+k\pi;x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
Pt \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(1+sinx+1-2sin^2x\right).\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(sinx+cosx\right)}{1+\dfrac{sinx}{cosx}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(-2sin^2x+sinx+2\right).\left(sinx+cosx\right)cosx}{cosx+sinx}=cosx\)
\(\Leftrightarrow\left(2+sinx-2sin^2x\right).cosx=cosx\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\left(ktm\right)\\2+sinx-2sin^2x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\sinx=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\left(ktm\right)\\sinx=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))
Vậy...
a4) Pt \(\Leftrightarrow9sinx+6cosx-6sinx.cosx+1-2sin^2x=8\)
\(\Leftrightarrow6cosx\left(1-sinx\right)-\left(2sin^2x-9sinx+7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow6cosx\left(1-sinx\right)-\left(2sinx-7\right)\left(sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(6cosx+2sinx+7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\6cosx+2sinx=7\left(vn\right)\end{matrix}\right.\) (\(6cosx+2sinx=7\) vô nghiệm do \(6^2+2^2< 7^2\))
\(\Rightarrow sinx=1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;k\in Z\)
Vậy...