a: Xét ΔABC có AM/MB=AN/NC

nên MN//BC

b: Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/AB=AN/AC(1)

Xét ΔABI có MK//BI

nên MK/BI=AM/AB(2)

Xét ΔACI có NK//CI

nên NK/IC=AN/AC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MK/BI=NK/CI

mà BI=CI

nên MK=NK

hay K là trung điểm của MN

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)(D là trung điểm của BC) (1)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AK}\)(K là trung điểm của MN) (2)

Lấy (1) trừ (2) có: \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=2\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}\right)\)

⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

1. M, N là trung điểm của AB và AC ⇒ MN là đường trung bình của △ABC, MN // BC

Vậy: BCNM là hình thang

==========

2. Do MN // BC ⇒ MO // BI, ON // IC. Mà M, N là trung điểm của AB, AC

⇒ MO và ON lần lượt là đường trung bình của △ABI, △AIC

\(\Rightarrow MO=\dfrac{BI}{2};ON=\dfrac{IC}{2}\). Mà BI = IC (I là trung điểm của BC)

\(\Rightarrow MO=ON\)

Vậy: O là trung điểm của MN (đpcm)

==========

3. Gọi F là giao điểm của MO và AD. Do AD ⊥ BC (gt), OM // BC ⇒ AD ⊥ MO

Xét △MHB và △AFM có:

\(\hat{MDB}=\hat{AFM}=90\text{˚}\)

\(\hat{MBH}=\hat{AMF}\) (đồng vị)

\(AM=MB\left(gt\right)\)

⇒ △MHB = △AFM (c.h-g.n) ⇒ MH = AF (1)

- Tứ giác OFDK có:

\(\begin{matrix}\hat{OFD}=90\text{˚}\left(AD\perp MO\right)\\\hat{FDK}=90\text{˚}\left(AD\perp BC\right)\\\hat{DKO}=90\text{˚}\left(OK\perp BC\right)\end{matrix}\) ⇒ OFDK là hình chữ nhật ⇒ OK = DF (2)

- Mà \(AD=AF+DF\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3)

Vậy: MH + OK = AD (đpcm)

Câu 4 mình tạm thời chưa nghĩ ra

a, Ta có AM/MB = AN/NC = 3/2 ⇒ MN//BC 

b, Ta có MN//BC ⇒ MK//BI ⇒ MK/BI=AM/AB (Hệ quả đ/lí Talet) ⇒ MK=BI. AM/AB

C/m tương tự ta có NK=IC . AN/AC 

mà theo câu a, AM/MB = AN/NC ⇒ NK=MK (ĐPCM)

bài đấy ko khó đâu, nhìn kĩ là ra thui