a) Để pt có 1 nghiệm bằng 1 thì \(2.1^2-3.1+m-1=0\Leftrightarrow m=2\).

Khi đó \(PT\Leftrightarrow2x^2-3x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).

Nghiệm còn lại là \(x=\dfrac{1}{2}\).

b) Ta có \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=2\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}=4\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=0\Leftrightarrow x_1=x_2\).

Để pt có nghiệm kép khác 0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=3^2-8\left(m-1\right)\ge0\\m-1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{17}{8}\).

Δ=(-2)^2-4(m-1)=4-4m+4=8-4m

Để phương trình có hai nghiệm thì 8-4m>=0

=>m<=2

x1+x2=2; x1x2=m-1

=>x1=2-x2

=>x1+1=3-x2

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=2^2-2(m-1)=4-2m+2=6-2m

=>x1^2=6-2m-x2^2

2x1(x1-x2)+3=7m+(x2+2)^2

=>2x1^2-2x1x2+3=7m+x2^2+2x2+4

=>2(6-2m-x2^2)-2x1x2+3-7m-x2^2-2x2-4=0

=>2(6-2m-x2^2)-2x2(3-x2)-7m-1=0

=>12-4m-2x2^2-6x2-2x2^2-7m-1=0

=>-4x2^2-6x2-11m+11=0

=>4x2^2+6x2+11m-11=0(1)

Để phương trình (1) có nghiệm thì 6^2-4*4*(11m-11)>=0

=>36-16(11m-11)>=0

=>16(11m-11)<=36

=>11m-11<=9/4

=>11m<=53/4

=>m<=53/44

\(x^2-2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x_1+\left(x_2\right)^2\\v=x_2+\left(x_1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2+x_1\right)^2-2x_1x_2\\uv=2x_1x_2+x_1^3+x_2^3=2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=8\\uv=12\end{matrix}\right.\)

=>u và v là nghiệm của pt \(t^2-8t+12=0\)

A=(x1-x2)^2-x1^2+x1(x1+x2)

=(x1-x2)^2+x1x2

=(x1+x2)^2-x1x2

=(1/2)^2-(-1/4)=1/4+1/4=1/2

\(x^2-2x-m^2-1=0\)

Theo Vi-ét, ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(x_1^2+x_2^2=20\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)

\(\Leftrightarrow2^2-2.\left(-m^2-1\right)=20\)

\(\Leftrightarrow4+2m^2+2-20=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2=14\)

\(\Leftrightarrow m=7\)

\(\Leftrightarrow m=\pm\sqrt{7}\)

Có: `\Delta'=1^2-(-m^2+1)=m^2`

PT có 2 nghiệm phân biệt `<=> m^2>0 <=> m \ne 0`

`=> x_1=2+m; x_2=2-m`

Theo đề: `x_2=x_1^2 <=>2-m=(2+m)^2<=>[(m=(-5+\sqrt17)/2(L)),(m=(-5-\sqrt17)/2(L))`

Vậy không có `m` thỏa mãn.

c) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(2m+1\right)\)

\(=\left(-2m-2\right)^2-4\left(2m+1\right)\)

\(=4m^2+8m+4-8m-4\)

\(=4m^2\ge0\forall m\)

Do đó, phương trình luôn có nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{1}=2m+2\\x_1\cdot x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1-2x_2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2=2m-1\\x_1=2m+2+x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m-1}{3}\\x_1=2m+3+\dfrac{2m-1}{3}=\dfrac{8m+8}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1\cdot x_2=2m+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-1}{3}\cdot\dfrac{8m+8}{3}=2m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)\left(8m+8\right)=9\left(2m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow16m^2+16m-8m-8-18m-9=0\)

\(\Leftrightarrow16m^2-10m-17=0\)

\(\text{Δ}=\left(-10\right)^2-4\cdot16\cdot\left(-17\right)=1188\)

Vì Δ>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{10-6\sqrt{33}}{32}\\m_2=\dfrac{10+6\sqrt{33}}{32}\end{matrix}\right.\)

Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh 

b) Ta có: \(x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2-2x_1x_2=7\)

              \(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

              \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2- 3\left(2m+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2m-9=0\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm\sqrt{37}}{4}\)

  Vậy ...

\Delta&#x27;=1^2-m=1-mΔ′=12−m=1−m

phương trình có 2 nghiệm <=>\Delta&#x27;\ge0Δ′≥0

<=>1-m\ge01−m≥0

<=>m\le1m≤1

+ Theo vi-et\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(1\right)\\x_1x_2=m\left(2\right)\end{matrix}\right.{x1​+x2​=−2(1)x1​x2​=m(2)​

Theo bai ra: 3x_1+2x_2=1\left(3\right)3x1​+2x2​=1(3)

từ (1)và (3), ta có hệ phương trình\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\3x_1+2x_2=1\end{matrix}\right.{x1​+x2​=−23x1​+2x2​=1​ <=>\left\{{}\begin{matrix}x_1=5\\x_2=-7\end{matrix}\right.{x1​=5x2​=−7​. Thay vào (2) : 5.(-7)= m <=> m= -35