Điều phải chứng minh tương đương với

\(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)+\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)+\left(c+a-2\sqrt{ca}\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)

(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c >=0 

Ta có: \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(a-2\sqrt{ac}+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

max hay min vậy bạn vì nếu min thì ta có a≥0=>a+ab+2abc≥0<=>a=0

\(a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2\)

Tương tự: \(2b^3+1\ge3b^2\) ; \(2c^3+1\ge3c^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(A_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow a^2\left(a-\sqrt{3}\right)\le0\Rightarrow a^3\le\sqrt{3}a^2\)

Tương tự: \(b^3\le\sqrt{3}b^2\) ; \(c^3\le\sqrt{3}c^2\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\sqrt{3}\)

\(A_{max}=3\sqrt{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và các hoán vị

\(a^3+1+1\ge3a\)

\(b^3+1+1\ge3b\)

\(c^3+1+1\ge3c\)

Cộng vế:

\(a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(Q_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)

mn giúp em với em đang gấp